Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
massa específica

Passo 1

O enunciado pede: para a quantidade “massa específica” (densidade de massa), indicar as dimensões nos sistemas M L t T e F L t T (aqui M = massa, L = comprimento, t = tempo, T = temperatura, F = força) e fornecer as unidades no sistema SI e no sistema inglês.
Informações dadas/implicadas: a massa específica é a razão entre massa e volume (isto é, massa por unidade de volume).

Passo 2

Definição e notação básica — o que é massa específica e quais grandezas entram nela:
A massa específica é a massa por unidade de volume; usa-se normalmente a letra \rho para representá-la:
\rho=\frac{m}{V},
onde \;m\; é a massa e \;V\; é o volume.
Explicando cada símbolo: \;m\; tem dimensão de massa e \;V\; tem dimensão de comprimento ao cubo (volume).

Passo 3

Dimensão no sistema M L t T (MLtT) — passo a passo:
  • A dimensão de \;m\; é [m]=M.
  • A dimensão de \;V\; é [V]=L^{3}.
    Usando \rho=m/V, a dimensão de \rho é a razão das dimensões:
[\rho]=\frac{[m]}{[V]}=\frac{M}{L^{3}}=M\,L^{-3}.
Como não aparecem fatores de tempo nem de temperatura na definição, os expoentes de t e T são zero. Portanto, escrevendo explicitamente todos os quatro símbolos:
[\rho]_{M L t T}=M\,L^{-3}\,t^{0}\,T^{0}.

Passo 4

Dimensão no sistema F L t T (FLtT) — transformar M em termos de F,L,t:
Usa-se a relação fundamental da dinâmica \;F=m a\;, onde \;a\; é aceleração com dimensão L\,t^{-2}. Assim,
m=\frac{F}{a}\quad\Rightarrow\quad [m]=\frac{F}{L\,t^{-2}}=F\,L^{-1}\,t^{2}.
Substituindo em [\rho]=[m]\,L^{-3}:
[\rho]=\bigl(F\,L^{-1}\,t^{2}\bigr)\,L^{-3}=F\,L^{-4}\,t^{2}.
Incluindo a temperatura com expoente zero:
[\rho]_{F L t T}=F\,L^{-4}\,t^{2}\,T^{0}.

Passo 5

Unidades no SI e no sistema inglês — explicando e dando as formas usuais:
  • SI: a massa tem unidade \mathrm{kg} e o volume tem unidade \mathrm{m^{3}}. Logo a unidade de massa específica é
\text{SI: }\mathrm{kg\;m^{-3}}.
  • Sistema inglês (unidades convencionais de engenharia): a unidade de massa normalmente usada é o \mathrm{slug} e o comprimento é a \mathrm{ft}. Assim a unidade correspondente é
\text{sistema inglês: }\mathrm{slug\;ft^{-3}}.ê
Observação prática: em muitos contextos é usado \mathrm{lb_{m}\;ft^{-3}} (onde \mathrm{lb_{m}} é libra-massa), mas isso exige cuidado porque a libra também aparece como unidade de força ( \mathrm{lbf}); a forma coerente em unidades fundamentais é \mathrm{slug\;ft^{-3}}.

Resposta

\text{Massa específica — dimensões (MLtT): }M\,L^{-3}\,t^{0}\,T^{0}íõ
\text{Massa específica — dimensões (FLtT): }F\,L^{-4}\,t^{2}\,T^{0}íõ
\text{Unidade SI: }\mathrm{kg\;m^{-3}}
\text{Unidade (sistema inglês): }\mathrm{slug\;ft^{-3}}ê

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