(0,5 Pontos) Em um processo de transferência de calor por condução transiente, um sólido inicialmente a uma temperatura uniforme
é subitamente exposto a um ambiente com temperatura
e coeficiente de transferência de calor por convecção
. Considerando que o método da capacitância global pode ser aplicado, a expressão correta para determinar a temperatura do sólido após um tempo
é:
a) ( )
;
b) ()
c)
d)
e)
.
a) ( )
b) ()
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para identificar a expressão correta para a temperatura do sólido após um tempo
, sabendo que:
- O sólido tem temperatura inicial uniforme
. - O ambiente tem temperatura
. - A transferência para o ambiente ocorre por convecção com coeficiente
. - Pode-se aplicar o método da capacitância global (lumped capacitance).
- Símbolos dados nas alternativas:
é a área de troca, é a densidade, (interpreto como ) é o volume do sólido e é o calor específico (capacidade térmica massiva).
O que se pede: escolher a alternativa com a expressão correta de
(temperatura do corpo no instante
).
Passo 2
Montar o balanço energético (princípio da conservação de energia) aplicado ao corpo inteiro. A variação da energia interna do sólido é igual ao calor perdido por convecção na superfície. Escrevendo isso:
A energia interna do sólido (assumindo temperatura uniforme) é
, onde
é a massa do sólido. Portanto a taxa de variação é
.
A taxa de calor por convecção na superfície vale
(positivo quando
). O sinal negativo no balanço vem porque essa energia sai do sólido quando
.
Logo a equação de balanço é
Aqui
. Vou explicitar cada símbolo:
-
: massa do corpo; -
: densidade do material; -
(ou nas alternativas): volume do corpo; -
: calor específico (capacidade térmica por unidade de massa); -
: área superficial de troca; -
: coeficiente de convecção; -
: temperatura do corpo no tempo ; -
: temperatura do ambiente.
Passo 3
Simplificar a equação usando
. A equação diferencial fica
Dividindo ambos os lados por
obtemos uma ODE linear de primeira ordem:
Define-se a constante de decaimento (inversa do tempo característico)
Então a ODE é
.
Passo 4
Resolver a ODE por separação de variáveis. Reescrevendo:
Integrando de
(onde
) até tempo
(onde
):
A integral no lado esquerdo dá um logaritmo natural:
Exponenciando ambos os lados:
Portanto a solução para
é
ou substituindo
:
Essa é a forma padrão da resposta pelo método da capacitância global. A constante de tempo é
.
Passo 5
Comparar com as alternativas dadas:
- Alternativa (a):
. Isso está faltando o termo , portanto é incorreto como expressão para a temperatura absoluta (está dando apenas o excesso de temperatura). - Alternativa (b): expressão sem sentido claro e com símbolos mal colocados — incorreta.
- Alternativa (c):
. O expoente está invertido (usa em vez de ), e aparece não definido — incorreta. - Alternativa (d):
. Esta coincide exatamente com a solução que obtivemos (note que nas alternativas é o volume ). Portanto é correta. - Alternativa (e):
. Expandindo esta expressão obtém-se
ou seja, é algebraicamente equivalente à alternativa (d). Logo (d) e (e) representam a mesma resposta correta. Em provas de múltipla escolha normalmente apenas uma alternativa aparece nessa forma; neste enunciado a opção (d) está exatamente na forma padrão
, por isso escolhemos (d).
Pequeno incentivo: mandou bem vindo até aqui — essa é a derivação padrão; decorar a forma
ajuda muito na prova, com
.
Resposta
(d)