(0,5 Pontos) Em um processo de transferência de calor por condução transiente, um sólido inicialmente a uma temperatura uniforme T_{0} é subitamente exposto a um ambiente com temperatura T_{\infty} e coeficiente de transferência de calor por convecção h. Considerando que o método da capacitância global pode ser aplicado, a expressão correta para determinar a temperatura do sólido após um tempo t é:
a) ( ) T(t)=\left(T_{0}-T_{\infty}\right) e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t};
b) () T(t)=\left(T_{0}-T_{\infty}\right) e^{\frac{h A_{s}}{\rho \forall c}} y^{\prime} / T_{\infty}
c) (\quad) T(t)=\left(T_{0}-T_{\infty}\right) e^{-\frac{\varphi c_{p}}{h A_{s}} t}+T_{\infty}
d) \boldsymbol{X} T(t)=\left(T_{0}-T_{\infty}\right) e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t}+T_{\infty}
e) (\quad) T(t)=T_{0} e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t}+T_{\infty}\left(1-e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t}\right).

Passo 1

O enunciado pede para identificar a expressão correta para a temperatura do sólido após um tempo t, sabendo que:
  • O sólido tem temperatura inicial uniforme T_{0}.
  • O ambiente tem temperatura T_{\infty}.
  • A transferência para o ambiente ocorre por convecção com coeficiente h.
  • Pode-se aplicar o método da capacitância global (lumped capacitance).
  • Símbolos dados nas alternativas: A_{s} é a área de troca, \rho é a densidade, \forall (interpreto como V) é o volume do sólido e c_{p} é o calor específico (capacidade térmica massiva).
O que se pede: escolher a alternativa com a expressão correta de T(t) (temperatura do corpo no instante t).

Passo 2

Montar o balanço energético (princípio da conservação de energia) aplicado ao corpo inteiro. A variação da energia interna do sólido é igual ao calor perdido por convecção na superfície. Escrevendo isso:
\text{variação de energia interna por unidade de tempo} = -\text{taxa de calor por convecção}çãçã
A energia interna do sólido (assumindo temperatura uniforme) é E = m c_{p} T, onde m é a massa do sólido. Portanto a taxa de variação é m c_{p}\dfrac{dT}{dt}.
A taxa de calor por convecção na superfície vale q = h A_{s}\bigl(T - T_{\infty}\bigr) (positivo quando T>T_{\infty}). O sinal negativo no balanço vem porque essa energia sai do sólido quando T>T_{\infty}.
Logo a equação de balanço é
m c_{p}\,\frac{dT}{dt} = -\,h A_{s}\bigl(T - T_{\infty}\bigr).
Aqui m=\rho V. Vou explicitar cada símbolo:
  • m: massa do corpo;
  • \rho: densidade do material;
  • V (ou \forall nas alternativas): volume do corpo;
  • c_{p}: calor específico (capacidade térmica por unidade de massa);
  • A_{s}: área superficial de troca;
  • h: coeficiente de convecção;
  • T(t): temperatura do corpo no tempo t;
  • T_{\infty}: temperatura do ambiente.

Passo 3

Simplificar a equação usando m=\rho V. A equação diferencial fica
\rho V c_{p}\,\frac{dT}{dt} = -\,h A_{s}\bigl(T - T_{\infty}\bigr).
Dividindo ambos os lados por \rho V c_{p} obtemos uma ODE linear de primeira ordem:
\frac{dT}{dt} = -\frac{h A_{s}}{\rho V c_{p}}\bigl(T - T_{\infty}\bigr).
Define-se a constante de decaimento (inversa do tempo característico)
k \equiv \frac{h A_{s}}{\rho V c_{p}}.
Então a ODE é \dfrac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_{\infty}\bigr).

Passo 4

Resolver a ODE por separação de variáveis. Reescrevendo:
\frac{dT}{T - T_{\infty}} = -k\,dt.
Integrando de t=0 (onde T(0)=T_{0}) até tempo t (onde T=T(t)):
\int_{T_{0}}^{T(t)} \frac{dT}{T - T_{\infty}} = -k \int_{0}^{t} dt.
A integral no lado esquerdo dá um logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}\right) = -k t.
Exponenciando ambos os lados:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}} = e^{-k t}.
Portanto a solução para T(t) é
T(t) = T_{\infty} + \bigl(T_{0} - T_{\infty}\bigr)\,e^{-k t},
ou substituindo k:
T(t) = T_{\infty} + \bigl(T_{0} - T_{\infty}\bigr)\,e^{-\dfrac{h A_{s}}{\rho V c_{p}}\,t}.
Essa é a forma padrão da resposta pelo método da capacitância global. A constante de tempo é \tau = \dfrac{\rho V c_{p}}{h A_{s}}.

Passo 5

Comparar com as alternativas dadas:
  • Alternativa (a): \;T(t)=\bigl(T_{0}-T_{\infty}\bigr) e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t}. Isso está faltando o termo +T_{\infty}, portanto é incorreto como expressão para a temperatura absoluta T(t) (está dando apenas o excesso de temperatura).
  • Alternativa (b): expressão sem sentido claro e com símbolos mal colocados — incorreta.
  • Alternativa (c): \;T(t)=\bigl(T_{0}-T_{\infty}\bigr) e^{-\frac{\varphi c_{p}}{h A_{s}} t}+T_{\infty}. O expoente está invertido (usa \varphi c_{p}/(hA_{s}) em vez de hA_{s}/(\rho V c_{p})), e aparece \varphi não definido — incorreta.
  • Alternativa (d): \;T(t)=\bigl(T_{0}-T_{\infty}\bigr) e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t}+T_{\infty}. Esta coincide exatamente com a solução que obtivemos (note que \forall nas alternativas é o volume V). Portanto é correta.
  • Alternativa (e): \;T(t)=T_{0} e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t}+T_{\infty}\bigl(1-e^{-\frac{h A_{s}}{\rho \forall c_{p}} t}\bigr). Expandindo esta expressão obtém-se
T_{0} e^{-k t} + T_{\infty} - T_{\infty} e^{-k t} = T_{\infty} + (T_{0}-T_{\infty}) e^{-k t},
ou seja, é algebraicamente equivalente à alternativa (d). Logo (d) e (e) representam a mesma resposta correta. Em provas de múltipla escolha normalmente apenas uma alternativa aparece nessa forma; neste enunciado a opção (d) está exatamente na forma padrão T_{\infty}+(T_{0}-T_{\infty})e^{-kt}, por isso escolhemos (d).
Pequeno incentivo: mandou bem vindo até aqui — essa é a derivação padrão; decorar a forma T(t) = T_{\infty} + (T_{0}-T_{\infty}) e^{-t/\tau} ajuda muito na prova, com \tau=\dfrac{\rho V c_{p}}{h A_{s}}.

Resposta

(d)

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