(2,5 Pontos) Um cilîndro de aço inoxidável
com 4 cm de diâmetro e 12 cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme de
, é colocado em um forno mantido a
. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o forno e o cilindro é de
.
a) (0,5 Ponto) Verifique se o método da capacitância global pode ser aplicado para análise deste problema;
b) (1,0 Ponto) Determine o tempo necessário para que o cilindro atinja uma temperatura média de
;
c) (1,0 Ponto) Calcule a quantidade total de energia absorvida pelo cilindro até atingir esta temperatura.
a) (0,5 Ponto) Verifique se o método da capacitância global pode ser aplicado para análise deste problema;
b) (1,0 Ponto) Determine o tempo necessário para que o cilindro atinja uma temperatura média de
c) (1,0 Ponto) Calcule a quantidade total de energia absorvida pelo cilindro até atingir esta temperatura.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado pede e dos dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
- O cilindro de aço inoxidável tem:
- diâmetro
raio ; - comprimento
.
- diâmetro
- Propriedades do material (aço inox):
- condutividade térmica
; - densidade
; - capacidade térmica
.
- condutividade térmica
- Condições de contorno:
- temperatura inicial uniforme
; - forno com
; - coeficiente de convecção
.
- temperatura inicial uniforme
- O que se pede:
(a) verificar se o método da capacitância global (modelo lumped) pode ser aplicado;
(b) determinar o tempo para que a temperatura média do cilindro atinja;
(c) calcular a energia total absorvida até alcançar essa temperatura.
Passo 2
Calcular as quantidades geométricas necessárias: volume
e área externa de troca
(superfície lateral + duas bases).
Fórmulas:
Cálculo numérico (mostrando as contas):
Passo 3
Verificar o critério de aplicabilidade do modelo de capacitância global: calcular o número de Biot
usando o comprimento característico
. Regra prática: o modelo lumped é aceitável se
.
Cálculo:
Interpretação:
. Portanto o gradiente interno de temperatura é pequeno e o método da capacitância global pode ser aplicado com boa precisão.
Passo 4
Descrever e deduzir a equação do modelo lumped (aula curta e prática):
Energia do corpo varia pela convecção na superfície. Balanço de energia:
onde
é a massa do cilindro e
a temperatura uniforme ao tempo
.
Resolver a equação diferencial (ODE linear de primeira ordem):
Solução com condição inicial
:
Define-se a constante de tempo
de modo que
Passo 5
Aplicar a fórmula para encontrar o tempo necessário para
.
Primeiro calcular a massa
e a constante de tempo
:
Agora impor
na solução e resolver para
:
Substituindo valores:
Tomando logaritmo:
Passo 6
Calcular a energia total absorvida até atingir
.
No caso lumped a energia absorvida é a variação de entalpia do sólido:
com
. Usando
,
Resposta
(a) Sim.
(método da capacitância global aplicável).
(b)
(c)
(b)
(c)