(2,5 Pontos) Um cilîndro de aço inoxidável \left[k=15 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), \rho=7900 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}, c_{p}=480 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK})\right] com 4 cm de diâmetro e 12 cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme de 20^{\circ} \mathrm{C}, é colocado em um forno mantido a 600^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o forno e o cilindro é de 120 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}.
a) (0,5 Ponto) Verifique se o método da capacitância global pode ser aplicado para análise deste problema;
b) (1,0 Ponto) Determine o tempo necessário para que o cilindro atinja uma temperatura média de 300^{\circ} \mathrm{C};
c) (1,0 Ponto) Calcule a quantidade total de energia absorvida pelo cilindro até atingir esta temperatura.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado pede e dos dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • O cilindro de aço inoxidável tem:
    • diâmetro D=4\\ \mathrm{cm} \Rightarrow raio r=\dfrac{D}{2}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m};
    • comprimento L=12\\ \mathrm{cm}=0,12\\ \mathrm{m}.
  • Propriedades do material (aço inox):
    • condutividade térmica k=15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K});
    • densidade \rho=7900\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3};
    • capacidade térmica c_{p}=480\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • Condições de contorno:
    • temperatura inicial uniforme T_{i}=20^{\circ}\mathrm{C};
    • forno com T_{\infty}=600^{\circ}\mathrm{C};
    • coeficiente de convecção h=120\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-1}.
  • O que se pede:
    (a) verificar se o método da capacitância global (modelo lumped) pode ser aplicado;
    (b) determinar o tempo para que a temperatura média do cilindro atinja 300^{\circ}\mathrm{C};
    (c) calcular a energia total absorvida até alcançar essa temperatura.

Passo 2

Calcular as quantidades geométricas necessárias: volume V e área externa de troca A (superfície lateral + duas bases).
Fórmulas:
V=\pi r^{2}L,\qquad A = A_{\text{lat}} + A_{\text{bases}} = 2\pi r L + 2\pi r^{2}.
Cálculo numérico (mostrando as contas):
V=\pi(0,02)^{2}(0,12)=\pi\cdot0,0004\cdot0,12=\pi\cdot0,000048\approx0,0001508\\ \mathrm{m}^{3}.
A_{\text{lat}}=2\pi(0,02)(0,12)=2\pi\cdot0,0024\approx0,0150796\\ \mathrm{m}^{2}.
A_{\text{bases}}=2\pi(0,02)^{2}=2\pi\cdot0,0004\approx0,0025133\\ \mathrm{m}^{2}.
A=A_{\text{lat}}+A_{\text{bases}}\approx0,0150796+0,0025133=0,0175929\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 3

Verificar o critério de aplicabilidade do modelo de capacitância global: calcular o número de Biot \mathrm{Bi} usando o comprimento característico L_{c}=V/A. Regra prática: o modelo lumped é aceitável se \mathrm{Bi}\lesssim0,1.
Cálculo:
L_{c}=\frac{V}{A}\approx\frac{0,0001508}{0,0175929}\approx0,008568\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}=\frac{120\cdot0,008568}{15}=\frac{1,02816}{15}\approx0,0685.
Interpretação: \mathrm{Bi}\approx0,0685<0,1. Portanto o gradiente interno de temperatura é pequeno e o método da capacitância global pode ser aplicado com boa precisão.

Passo 4

Descrever e deduzir a equação do modelo lumped (aula curta e prática):
Energia do corpo varia pela convecção na superfície. Balanço de energia:
m c_{p}\frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T(t)-T_{\infty}\bigr),
onde m=\rho V é a massa do cilindro e T(t) a temperatura uniforme ao tempo t.
Resolver a equação diferencial (ODE linear de primeira ordem):
\frac{dT}{dt} = -\frac{hA}{m c_{p}}\bigl(T-T_{\infty}\bigr).
Solução com condição inicial T(0)=T_{i}:
T(t)=T_{\infty}+\bigl(T_{i}-T_{\infty}\bigr)\exp\!\left(-\frac{hA}{m c_{p}}t\right).
Define-se a constante de tempo
\tau=\frac{m c_{p}}{hA}=\frac{\rho V c_{p}}{hA},
de modo que
T(t)=T_{\infty}+\bigl(T_{i}-T_{\infty}\bigr)\mathrm{e}^{-t/\tau}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para encontrar o tempo necessário para T(t)=300^{\circ}\mathrm{C}.
Primeiro calcular a massa m e a constante de tempo \tau:
m=\rho V=7900\cdot0,0001508\approx1,1902\\ \mathrm{kg}.
\tau=\frac{m c_{p}}{hA}=\frac{1,1902\cdot480}{120\cdot0,0175929} =\frac{571,296}{2,111148}\approx270,66\\ \mathrm{s}.
Agora impor T(t)=300^{\circ}\mathrm{C} na solução e resolver para t:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\!\left(-\frac{t}{\tau}\right).
Substituindo valores:
\frac{300-600}{20-600}=\frac{-300}{-580}=\frac{300}{580}=0,517241\approx\mathrm{e}^{-t/\tau}.
Tomando logaritmo:
-\frac{t}{\tau}=\ln(0,517241)\approx-0,659086\quad\Rightarrow\quad t=\tau\cdot0,659086.
t\approx270,66\cdot0,659086\approx178,4\\ \mathrm{s}\approx2,97\\ \text{min}.

Passo 6

Calcular a energia total absorvida até atingir 300^{\circ}\mathrm{C}.
No caso lumped a energia absorvida é a variação de entalpia do sólido:
Q = m c_{p}\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr),
com T_{f}=300^{\circ}\mathrm{C}. Usando m c_{p}=1,1902\cdot480\approx571,30\\ \mathrm{J/K},
Q=571,30\cdot(300-20)=571,30\cdot280\approx159958\\ \mathrm{J}\approx1,60\times10^{5}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) Sim. \mathrm{Bi}=0,0685<0,1 (método da capacitância global aplicável).
(b) t\approx178,4\\ \mathrm{s}\approx2,97\\ \text{min}.
(c) Q\approx1,60\times10^{5}\\ \mathrm{J}.

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