Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
viscosidade dinâmica

Passo 1

O enunciado pede que eu indique, para a quantidade “viscosidade dinâmica”, as dimensões nos dois sistemas de base: \mathrm{MLtT} e \mathrm{FLtT}. Também pede as unidades no sistema SI e no sistema inglês. Dados relevantes que temos: as bases são \mathrm{M} (massa), \mathrm{L} (comprimento), \mathrm{t} (tempo) e \mathrm{T} (temperatura); no segundo sistema a base \mathrm{F} representa força em vez de massa. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

O que é a viscosidade dinâmica e como obter a dimensão a partir disso. A viscosidade dinâmica, normalmente denotada por \mu, aparece na lei de Newton para um fluido newtoniano: a tensão cisalhante (shear stress) é proporcional à taxa de cisalhamento (shear rate):
\text{tensão cisalhante} = \mu \times \text{taxa de cisalhamento}.ã
Aqui:
  • “tensão cisalhante” tem as mesmas dimensões de pressão (força por área);
  • “taxa de cisalhamento” tem dimensão de 1/\text{tempo}.
Portanto, em termos de dimensões,
[\mu] = \frac{[\text{tensão}]}{[\text{taxa de cisalhamento}]} = [\text{pressão}] \times [\text{tempo}].ãã

Passo 3

Dimensão da pressão no sistema \mathrm{MLtT}. A pressão é força por área e força tem dimensão \mathrm{M L t^{-2}}. Logo:
[\text{pressão}] = \frac{[\text{força}]}{[\text{área}]} = \frac{\mathrm{M L t^{-2}}}{\mathrm{L^{2}}} = \mathrm{M L^{-1} t^{-2}}.ãçá
Multiplicando pela dimensão de tempo para obter [\mu], temos:
[\mu] = [\text{pressão}]\,[\text{tempo}] = \left(\mathrm{M L^{-1} t^{-2}}\right)\left(\mathrm{t}\right) = \mathrm{M L^{-1} t^{-1}}.ã
Explicando em palavras: a viscosidade dinâmica tem dimensão de massa vezes comprimento^{-1} vezes tempo^{-1}.

Passo 4

Conversão para o sistema \mathrm{FLtT} (base força \mathrm{F} em vez de massa). A relação entre as bases é
\mathrm{F} = \mathrm{M L t^{-2}} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{M} = \mathrm{F L^{-1} t^{2}}.
Substituindo essa expressão para \mathrm{M} na dimensão encontrada \mathrm{M L^{-1} t^{-1}}:
[\mu] = \left(\mathrm{F L^{-1} t^{2}}\right)\mathrm{L^{-1} t^{-1}} = \mathrm{F L^{-2} t^{1}}.
Ou seja, em \mathrm{FLtT} a viscosidade dinâmica tem dimensão \mathrm{F L^{-2} t^{1}} (força · comprimento^{-2} · tempo).

Passo 5

Unidades no sistema SI. Pela definição:
\text{unidade SI de }\mu = \text{Pascal}\cdot\text{segundo} = \mathrm{Pa\cdot s}.
Usando \mathrm{1\\ Pa} = 1\\ \mathrm{N\\ m^{-2}} e \mathrm{1\\ N} = 1\\ \mathrm{kg\\ m\\ s^{-2}}, obtém-se a forma base:
\mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{N\\ s\\ m^{-2}} = \mathrm{kg\\ m^{-1}\\ s^{-1}}.

Passo 6

Unidades no sistema inglês. Há duas maneiras usuais, dependendo se se usa massa como base (unidade de massa: \mathrm{slug}) ou força como base (unidade de força: \mathrm{lbf}):
  • Forma usando massa ( \mathrm{MLtT} com massa em \mathrm{slug}):
\text{unidade inglesa} = \mathrm{slug\\ ft^{-1}\\ s^{-1}}.
Isto segue diretamente da forma \mathrm{M L^{-1} t^{-1}} trocando \mathrm{M}\to\mathrm{slug}, \mathrm{L}\to\mathrm{ft}, \mathrm{t}\to\mathrm{s}.
  • Forma usando força ( \mathrm{FLtT} com força em \mathrm{lbf}):
\text{unidade inglesa (força-base)} = \mathrm{lbf\\ s\\ ft^{-2}}.ç
Essas duas formas são equivalentes porque \mathrm{1\\ lbf} = \mathrm{1\\ slug\\ ft\\ s^{-2}}, então \mathrm{lbf\\ s\\ ft^{-2}} = \mathrm{(slug\\ ft\\ s^{-2})\\ s\\ ft^{-2}} = \mathrm{slug\\ ft^{-1}\\ s^{-1}}.

Resposta

\mathrm{MLtT:}\;[\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,t^{-1}} \
\mathrm{FLtT:}\;[\mu]=\mathrm{F\,L^{-2}\,t^{1}} \
Unidade SI: \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{kg\\ m^{-1}\\ s^{-1}} \
Unidade inglesa: \mathrm{lbf\\ s\\ ft^{-2}} (equivalente a \mathrm{slug\\ ft^{-1}\\ s^{-1}})

Exercícios relacionados