Para cada uma das relações entrada-saída a seguir, determine se o sistema correspondente é linear, invariante no tempo ou ambos.
y(t)=t^2 x(t-1)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema dado por
y(t) = t^2,x(t-1)
e pede pra gente decidir se ele é linear, invariante no tempo ou ambos.
Conteúdo: teoria de sistemas lineares e invariância no tempo.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é linearidade (princípio da superposição).
  2. Entender o que é invariância no tempo (deslocamento de entrada vs. saída).

Passo 2

Verificando linearidade:
Um sistema é linear se vale sempre
Ta,x1(t) + b,x2(t) ;=; a,Tx1(t) + b,Tx2(t)
No nosso caso, defina
y1(t) = Tx1(t) = t^2,x1(t-1), y2(t) = Tx2(t) = t^2,x2(t-1)
Então, para Tx(t) = t^2l[a,x1(t-1) + b,x2(t-1)r] = a,t^2,x1(t-1) + b,t^2,x2(t-1) = a,y1(t) + b,y2(t) ,
Isso mostra que vale superposição e homogeneidade. Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Verificando invariância no tempo:
Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada em tilde y(t) = Ttilde x(t) = t^2,tilde x(t-1) = t^2,xl((t-1)-t0r) , a saída atrasar exatamente em y(t-t0) = (t-t0)^2,xl((t-t0)-1r) .
  1. Atrasando a entrada:
    .
    A saída correspondente é
  2. Atraso na saída original:
Repare que

é diferente de
,
pois em geral.
Logo, não é invariante no tempo.

Resposta

O sistema é linear, mas não é invariante no tempo.

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