Determine os valores de Pinfty e Einfty para cada um dos seguintes sinais:
x1[n]=(12)^n u[n]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a energia x1[n]=l(tfrac12r)^n,u[n] e a potência média do sinal
Isso cai em “Sinais Discretos”, mais especificamente na definição de sinais de energia e potência. Pra resolver a gente vai precisar:
  1. Saber como se calcula energia de um sinal discreto;
  2. Saber como se calcula potência média de um sinal discreto;
  3. Somar séries geométricas (porque vai aparecer pra calcular energia).

Passo 2

Teoria da energia de sinal discreto:
A energia Einfty ;=;sumn=-infty^+infty |x[n]|^2 de um sinal é definida como
No nosso caso, para (por causa do ), então a soma cai pra até .

Passo 3

Calculando |x1[n]|^2 ;=;l(tfrac12r)^2n = l(tfrac14r)^n :
Einfty =sumn=0^infty l(tfrac14r)^n
Então
sumn=0^infty r^n = 11-r,
Isso é uma série geométrica com primeiro termo Einfty = 11-tfrac14 = 1tfrac34 = 43 (quando ) e razão . A fórmula é
desde que . Aqui , então

Passo 4

Teoria da potência média de sinal discreto:
A potência média Pinfty =limNtoinfty12N+1sumn=-N^N|x[n]|^2 é
Quando o sinal tem energia finita (como foi o nosso caso, ), costuma acontecer que a potência média seja zero, pois fora de um intervalo finito o sinal decai e não contribui para potência “em média”.

Passo 5

Calculando sumn=-N^N|x1[n]|^2 =sumn=0^Nl(tfrac14r)^n (pois x[n]=0 para n<0) diretamente dá:
Pinfty =limNtoinftysumn=0^N(tfrac14)^n2N+1 =limNtoinftyalgo que tende a 4/32N+1 =0
Esse somatório tende a quando . Mas aí dividimos por e mandamos :

Resposta


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