Para cada uma de estas resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
  1. Considere as seguintes possibilidades para uma função f :
    a. f(x)=\frac{x^{3}+3}{x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{3}+3}{x}
e pede, sucessivamente:
  • determinar o domínio de f;
  • (opcional) determinar as raízes de f (se houver) e verificar se f é par, ímpar ou nenhuma das anteriores;
  • obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência);
  • obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência);
  • encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
  • determinar pontos de máximo ou mínimo (se houver), e dizer se são absolutos ou relativos;
  • determinar intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
  • com tudo isso, esboçar o gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão algébrica de f é \dfrac{x^{3}+3}{x}.
  • Há um denominador x, então x=0 é uma possível singularidade (possível exclusão do domínio).
  • Todas as outras operações são polinomiais (comportamento bem definido para x\neq0).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão quando possível, pois isso ajuda na resolução.
f(x)=\frac{x^{3}+3}{x}=x^{2}+\frac{3}{x}.
Isto é só uma reescrita: a vantagem é que já separa o termo polinomial x^{2} do termo racional 3/x, o que facilita cálculo de limites e derivadas.

Passo 3

Domínio de f.
A única restrição vem do denominador x: não é permitido x=0. Portanto o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Raízes de f e paridade.
Para raízes, resolvemos f(x)=0:
\frac{x^{3}+3}{x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}+3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}=-3.
Logo a única raiz real é
x=-\sqrt[3]{3}.
O ponto no gráfico é \bigl(-\sqrt[3]{3},\,0\bigr).
Verificação de paridade: calcule f(-x):
f(-x)=(-x)^{2}+\frac{3}{-x}=x^{2}-\frac{3}{x}.
Compare com f(x)=x^{2}+\dfrac{3}{x} e com -f(x)=-x^{2}-\dfrac{3}{x}. Como nem f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x) em geral, concluímos que f não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Assíntotas verticais.
Examine os limites quando x\to0^{+} e x\to0^{-}. Usando a forma f(x)=x^{2}+\dfrac{3}{x}:
  • Para x\to0^{+}, tem-se \dfrac{3}{x}\to +\infty e x^{2}\to0, portanto
\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty.
  • Para x\to0^{-}, tem-se \dfrac{3}{x}\to -\infty e x^{2}\to0, portanto
\lim_{x\to0^{-}}f(x)=-\infty.
Como f diverge para \pm\infty ao nos aproximarmos de x=0, existe uma assíntota vertical em
x=0.

Passo 6

Assíntotas horizontais.
Verificar os limites quando x\to\pm\infty. Como f(x)=x^{2}+\dfrac{3}{x}, o termo dominante é x^{2}, então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
Portanto não existem assíntotas horizontais (os limites não são finitos). Observação: a função tem crescimento quadrático, então eventualmente a ideia de “assíntota parabólica” surge (reta não), mas a pergunta pedia assíntotas horizontais; portanto a resposta é: não há.

Passo 7

Derivada primeira e pontos críticos (crescimento/decrescimento).
Calcule f'(x). Da expressão f(x)=x^{2}+3x^{-1} tem-se
f'(x)=2x-3x^{-2}=2x-\frac{3}{x^{2}}.
Colocar em forma de fração comum útil para o estudo do sinal:
f'(x)=\frac{2x^{3}-3}{x^{2}}.
Pontos críticos onde f'(x)=0 (e onde f' não está definida, lembrando o domínio):
  • f' não está definida em x=0, mas 0\notin\mathcal{D} então não é ponto crítico interno.
  • Resolva 2x^{3}-3=0 para zeros do numerador:
2x^{3}-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=\frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}.
Denote a=\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}} (valor aproximado a\approx 1,1447).
Estudo do sinal de f'(x)=\dfrac{2x^{3}-3}{x^{2}}:
  • O denominador x^{2}>0 para todo x\neq0; então o sinal de f' coincide com o sinal de 2x^{3}-3.
  • 2x^{3}-3<0 quando x^{3}<\tfrac{3}{2}, isto é, para x<\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}.
  • 2x^{3}-3>0 quando x>\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}.
Levando em conta a singularidade em 0, os intervalos de monotonicidade são:
  • f é decrescente em (-\infty,0) porque para qualquer x<0 tem-se x^{3}<0<\tfrac{3}{2} então f'<0.
  • f é decrescente também em (0,\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}) porque aí x^{3}<\tfrac{3}{2}.
  • f é crescente em (\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}},+\infty).
Conclusão qualitativa: há mudança de decrescimento para crescimento em x=a=\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}, portanto há um mínimo relativo aí.

Passo 8

Valor do mínimo relativo em x=a=\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}.
Calcule f(a). Usando a^{3}=\dfrac{3}{2} podemos escrever exatamente:
f(a)=a^{2}+\frac{3}{a}=\left(\frac{3}{2}\right)^{\!2/3}+3\left(\frac{3}{2}\right)^{\!-1/3}.
Uma escrita alternativa é
f(a)=\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}+3\left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}.
Valor aproximado: com a\approx1,1447,
f(a)\approx 1,3104+2,6207\approx 3,9311.
Logo existe um mínimo relativo em x=a com coordenada aproximada \bigl(1,1447,\;3,9311\bigr).

Passo 9

Máximos/mínimos absolutos?
Analisar comportamento global:
  • Para x\to+\infty, f(x)\to+\infty.
  • Para x\to-\infty, f(x)\to+\infty.
  • Para x\to0^{+}, f(x)\to+\infty.
  • Para x\to0^{-}, f(x)\to-\infty.
Como a função vai para -\infty quando x\to0^{-}, f não tem menor cota (é não limitada inferiormente) e, portanto, não existe mínimo absoluto no domínio todo. O ponto x=a é um mínimo relativo (e é o mínimo relativo e também o mínimo na metade positiva (0,\infty)), mas não é mínimo absoluto do conjunto \mathcal{D} porque f atinge valores arbitrariamente negativos perto de 0^{-}. Não existem máximos nem máximos relativos (a função não tem ponto onde passa de crescente para decrescente).

Passo 10

Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão.
Calcule f''(x) derivando f'(x)=2x-3x^{-2}:
f''(x)=2+6x^{-3}=2+\frac{6}{x^{3}}.
Colocar em forma factorada:
f''(x)=2\frac{x^{3}+3}{x^{3}}.
Para achar pontos de inflexão resolvemos f''(x)=0:
2+\frac{6}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{x^{3}}=-2 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=-3 \quad\Longrightarrow\quad x=-\sqrt[3]{3}.
Note que x=-\sqrt[3]{3} pertence ao domínio, e este é exatamente o zero de f encontrado no Passo 4. Portanto possível ponto de inflexão em x=-\sqrt[3]{3}.
Estudo do sinal de f''(x)=2\,(x^{3}+3)/x^{3}. Separando intervalos (levando em conta x=0 singular):
  • Para x>0: x^{3}>0 e x^{3}+3>0 então f''(x)>0. Logo f é côncava para cima em (0,\infty).
  • Para -\sqrt[3]{3}<x<0: tem x^{3}\in(-3,0) então x^{3}+3>0 mas x^{3}<0, daí f''(x)<0. Logo f é côncava para baixo em (-\sqrt[3]{3},0).
  • Para x<-\sqrt[3]{3}: tem x^{3}<-3 então x^{3}+3<0 e x^{3}<0, daí f''(x)>0. Logo f é côncava para cima em (-\infty,-\sqrt[3]{3}).
Assim, há mudança de concavidade em x=-\sqrt[3]{3} e, como f é contínua aí, o ponto \bigl(-\sqrt[3]{3},0\bigr) é ponto de inflexão.

Passo 11

Resumo das informações e preparação para esboço (coordenadas e valores aproximados a reter).
  • Domínio: \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Raiz: \bigl(-\sqrt[3]{3},\,0\bigr) (aprox. (-1,4422,\,0)).
  • Paridade: nem par nem ímpar.
  • Assíntota vertical: x=0.
  • Assíntotas horizontais: nenhuma.
  • Crescimento/decrescimento:
    • decrescente em (-\infty,0) e em (0,\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}});
    • crescente em (\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}},+\infty).
  • Extremos: mínimo relativo em x=\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}} com f\!\left(\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}+3\left(\frac{3}{2}\right)^{-1/3}\approx 3,9311.Não há máximo nem mínimo absoluto (função vai a -\infty perto de 0^{-}).
  • Concavidade:
    • côncava para cima em (-\infty,-\sqrt[3]{3}) e em (0,\infty);
    • côncava para baixo em (-\sqrt[3]{3},0).
  • Ponto de inflexão: \bigl(-\sqrt[3]{3},\,0\bigr).
Esboço do gráfico (orientação para desenhar):
  • Para x\to-\infty, f(x)\to+\infty (parabolicamente para cima).
  • Descer do +\infty com concavidade para cima até cruzar o eixo x em (- \sqrt[3]{3},0) — ponto de inflexão aí — depois continuar decrescendo e mudando para concavidade para baixo até a assíntota vertical x=0, onde f\to -\infty ao aproximar-se por esquerda.
  • Para a direita da assíntota x=0^{+}, f\to+\infty e decresce (concavidade para cima) até o mínimo relativo em x=\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}} com valor aproximado 3,9311, depois cresce para +\infty com concavidade para cima.
  • Marcar no esboço: assíntota vertical x=0, raiz \bigl(-\sqrt[3]{3},0\bigr), ponto de inflexão no mesmo lugar, mínimo relativo em \bigl(\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}},\; \text{valor acima}\bigr).

Resposta

Domínio: \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Raiz e paridade: raiz em x=-\sqrt[3]{3} (ponto \bigl(-\sqrt[3]{3},0\bigr)); f não é par nem ímpar.
Assíntotas verticais: x=0.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Intervalos de crescimento/decrescimento:
  • f é decrescente em (-\infty,0) e em \bigl(0,\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}\bigr).
  • f é crescente em \bigl(\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}},+\infty\bigr).
Extremos: mínimo relativo em x=\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}} com valor
f\!\left(\sqrt[3]{\tfrac{3}{2}}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}+3\left(\frac{3}{2}\right)^{-1/3}\approx 3,9311.
Não há máximo; não há mínimo absoluto no domínio (pois f(x)\to-\infty quando x\to0^{-}).
Concavidade e pontos de inflexão:
  • f é côncava para cima em (-\infty,-\sqrt[3]{3}) e em (0,+\infty).
  • f é côncava para baixo em (-\sqrt[3]{3},0).
  • Ponto de inflexão em \bigl(-\sqrt[3]{3},0\bigr).

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