Para cada uma de estas resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
- Considere as seguintes possibilidades para uma função
:
a.
.
a.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, sucessivamente:
- determinar o domínio de
; - (opcional) determinar as raízes de
(se houver) e verificar se é par, ímpar ou nenhuma das anteriores; - obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência);
- obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência);
- encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
; - determinar pontos de máximo ou mínimo (se houver), e dizer se são absolutos ou relativos;
- determinar intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
- com tudo isso, esboçar o gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão algébrica de
é . - Há um denominador
, então é uma possível singularidade (possível exclusão do domínio). - Todas as outras operações são polinomiais (comportamento bem definido para
).
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão quando possível, pois isso ajuda na resolução.
Isto é só uma reescrita: a vantagem é que já separa o termo polinomial
do termo racional
, o que facilita cálculo de limites e derivadas.
Passo 3
Domínio de
.
A única restrição vem do denominador
: não é permitido
. Portanto o domínio é
Passo 4
Raízes de
e paridade.
Para raízes, resolvemos
:
Logo a única raiz real é
O ponto no gráfico é
.
Verificação de paridade: calcule
:
Compare com
e com
. Como nem
nem
em geral, concluímos que
não é nem par nem ímpar.
Passo 5
Assíntotas verticais.
Examine os limites quando
e
. Usando a forma
:
- Para
, tem-se e , portanto
- Para
, tem-se e , portanto
Como
diverge para
ao nos aproximarmos de
, existe uma assíntota vertical em
Passo 6
Assíntotas horizontais.
Verificar os limites quando
. Como
, o termo dominante é
, então
Portanto não existem assíntotas horizontais (os limites não são finitos). Observação: a função tem crescimento quadrático, então eventualmente a ideia de “assíntota parabólica” surge (reta não), mas a pergunta pedia assíntotas horizontais; portanto a resposta é: não há.
Passo 7
Derivada primeira e pontos críticos (crescimento/decrescimento).
Calcule
. Da expressão
tem-se
Colocar em forma de fração comum útil para o estudo do sinal:
Pontos críticos onde
(e onde
não está definida, lembrando o domínio):
-
não está definida em , mas então não é ponto crítico interno. - Resolva
para zeros do numerador:
Denote
(valor aproximado
).
Estudo do sinal de
:
- O denominador
para todo ; então o sinal de coincide com o sinal de . -
quando , isto é, para . -
quando .
Levando em conta a singularidade em
, os intervalos de monotonicidade são:
-
é decrescente em porque para qualquer tem-se então . -
é decrescente também em porque aí . -
é crescente em .
Conclusão qualitativa: há mudança de decrescimento para crescimento em
, portanto há um mínimo relativo aí.
Passo 8
Valor do mínimo relativo em
.
Calcule
. Usando
podemos escrever exatamente:
Uma escrita alternativa é
Valor aproximado: com
,
Logo existe um mínimo relativo em
com coordenada aproximada
.
Passo 9
Máximos/mínimos absolutos?
Analisar comportamento global:
- Para
, . - Para
, . - Para
, . - Para
, .
Como a função vai para
quando
,
não tem menor cota (é não limitada inferiormente) e, portanto, não existe mínimo absoluto no domínio todo. O ponto
é um mínimo relativo (e é o mínimo relativo e também o mínimo na metade positiva
), mas não é mínimo absoluto do conjunto
porque
atinge valores arbitrariamente negativos perto de
. Não existem máximos nem máximos relativos (a função não tem ponto onde passa de crescente para decrescente).
Passo 10
Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão.
Calcule
derivando
:
Colocar em forma factorada:
Para achar pontos de inflexão resolvemos
:
Note que
pertence ao domínio, e este é exatamente o zero de
encontrado no Passo 4. Portanto possível ponto de inflexão em
.
Estudo do sinal de
. Separando intervalos (levando em conta
singular):
- Para
: e então . Logo é côncava para cima em . - Para
: tem então mas , daí . Logo é côncava para baixo em . - Para
: tem então e , daí . Logo é côncava para cima em .
Assim, há mudança de concavidade em
e, como
é contínua aí, o ponto
é ponto de inflexão.
Passo 11
Resumo das informações e preparação para esboço (coordenadas e valores aproximados a reter).
- Domínio:
. - Raiz:
(aprox. ). - Paridade: nem par nem ímpar.
- Assíntota vertical:
. - Assíntotas horizontais: nenhuma.
- Crescimento/decrescimento:
- decrescente em
e em ; - crescente em
.
- decrescente em
- Extremos: mínimo relativo em
com Não há máximo nem mínimo absoluto (função vai a perto de ). - Concavidade:
- côncava para cima em
e em ; - côncava para baixo em
.
- côncava para cima em
- Ponto de inflexão:
.
Esboço do gráfico (orientação para desenhar):
- Para
, (parabolicamente para cima). - Descer do
com concavidade para cima até cruzar o eixo em — ponto de inflexão aí — depois continuar decrescendo e mudando para concavidade para baixo até a assíntota vertical , onde ao aproximar-se por esquerda. - Para a direita da assíntota
, e decresce (concavidade para cima) até o mínimo relativo em com valor aproximado , depois cresce para com concavidade para cima. - Marcar no esboço: assíntota vertical
, raiz , ponto de inflexão no mesmo lugar, mínimo relativo em .
Resposta
Domínio:
.
Raiz e paridade: raiz em
(ponto
);
não é par nem ímpar.
Assíntotas verticais:
.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Intervalos de crescimento/decrescimento:
-
é decrescente em e em . -
é crescente em .
Extremos: mínimo relativo em
com valor
Não há máximo; não há mínimo absoluto no domínio (pois
quando
).
Concavidade e pontos de inflexão:
-
é côncava para cima em e em . -
é côncava para baixo em . - Ponto de inflexão em
.