Para a função
:
(a) Encontre a equação da reta tangente no ponto
(b) Em que ponto a reta tangente ao gráfico de
tem coeficiente angular igual a
?
(a) Encontre a equação da reta tangente no ponto
(b) Em que ponto a reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- (a) encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto ; - (b) determinar em que ponto a reta tangente ao gráfico de
tem coeficiente angular igual a .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- a função é
; - o ponto da parte (a) é
; - o coeficiente angular pedido na parte (b) é
.
Passo 2
Entender o que é necessário para encontrar a reta tangente. Para obter a equação da reta tangente num ponto, precisa-se de duas coisas:
- o ponto
de tangência; - o coeficiente angular (inclinação)
da reta nesse ponto, que é dado pela derivada .
Agora vamos aprender a derivar
. Uma forma conveniente é reescrever a função usando a exponencial natural:
Aqui
é o logaritmo natural de
(uma constante), e escrevendo assim podemos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
então
, onde
é a derivada de
.
No nosso caso,
. Então
(porque
é constante e a derivada de
é
). Aplicando a regra da cadeia:
Portanto a regra prática é: a derivada de
(com
) é
. Aqui
. Explicando as notações:
é a taxa de variação instantânea da função em
— geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em
.
Passo 3
Calcular o coeficiente angular da tangente no ponto de abscissa
. Usamos a fórmula da derivada que acabamos de obter:
Agora avalia-se
:
logo
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 4
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação da reta que passa por
com inclinação
é
onde
.
Aqui
,
e
. Substituindo:
Se quiser colocar em forma explícita
, basta desenvolver:
Ambas são formas válidas da equação da tangente; a forma ponto-inclinação é mais direta e clara.
Passo 5
Resolver a parte (b): encontrar o ponto onde a reta tangente tem coeficiente angular
.
Sabemos que o coeficiente angular da tangente em
é
. Queremos
. Então montamos a equação:
Como
, podemos dividir os dois lados por
, obtendo
Usando propriedades de potências,
. Assim
Portanto a abscissa do ponto procurado é
. A ordenada é
. Logo o ponto é
.
Passo 6
Checagem rápida (sossega o coração): a derivada em
é
, que coincide com o coeficiente pedido, e o ponto corresponde a
. Tudo consistente.
Resposta
(a)
(b)