Para a função f(x)=4^{x} :
(a) Encontre a equação da reta tangente no ponto (2, f(2))
(b) Em que ponto a reta tangente ao gráfico de f tem coeficiente angular igual a 4 \ln 4 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=4^{x} e pede duas coisas:
  • (a) encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,f(2));
  • (b) determinar em que ponto a reta tangente ao gráfico de f tem coeficiente angular igual a 4\ln 4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • a função é f(x)=4^{x};
  • o ponto da parte (a) é (2,f(2));
  • o coeficiente angular pedido na parte (b) é 4\ln 4.

Passo 2

Entender o que é necessário para encontrar a reta tangente. Para obter a equação da reta tangente num ponto, precisa-se de duas coisas:
  • o ponto (x_0,y_0) de tangência;
  • o coeficiente angular (inclinação) m da reta nesse ponto, que é dado pela derivada f'(x_0).
Agora vamos aprender a derivar f(x)=4^{x}. Uma forma conveniente é reescrever a função usando a exponencial natural:
4^{x}=e^{x\ln 4}.
Aqui \ln 4 é o logaritmo natural de 4 (uma constante), e escrevendo assim podemos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=u'(x)e^{u(x)}, onde u'(x) é a derivada de u(x).
No nosso caso, u(x)=x\ln 4. Então u'(x)=\ln 4 (porque \ln 4 é constante e a derivada de x é 1). Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x\ln 4}=(\ln 4)\,e^{x\ln 4}=(\ln 4)\,4^{x}.
Portanto a regra prática é: a derivada de a^{x} (com a>0) é a^{x}\ln a. Aqui f'(x)=4^{x}\ln 4. Explicando as notações: f'(x) é a taxa de variação instantânea da função em x — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em x.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular da tangente no ponto de abscissa x=2. Usamos a fórmula da derivada que acabamos de obter:
f'(2)=4^{2}\ln 4.
Agora avalia-se 4^{2}:
4^{2}=16,
logo
f'(2)=16\ln 4.
Portanto a inclinação da reta tangente em x=2 é 16\ln 4.

Passo 4

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação da reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m é
y-y_0 = m(x-x_0),
onde y_0=f(x_0).
Aqui x_0=2, m=f'(2)=16\ln 4 e y_0=f(2)=4^{2}=16. Substituindo:
y-16 = 16\ln 4\,(x-2).
Se quiser colocar em forma explícita y=mx+b, basta desenvolver:
y=16\ln 4\;x - 32\ln 4 + 16.
Ambas são formas válidas da equação da tangente; a forma ponto-inclinação é mais direta e clara.

Passo 5

Resolver a parte (b): encontrar o ponto onde a reta tangente tem coeficiente angular 4\ln 4.
Sabemos que o coeficiente angular da tangente em x é f'(x)=4^{x}\ln 4. Queremos f'(x)=4\ln 4. Então montamos a equação:
4^{x}\ln 4 = 4\ln 4.
Como \ln 4\neq 0, podemos dividir os dois lados por \ln 4, obtendo
4^{x}=4.
Usando propriedades de potências, 4=4^{1}. Assim
4^{x}=4^{1}\quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto a abscissa do ponto procurado é x=1. A ordenada é f(1)=4^{1}=4. Logo o ponto é (1,4).

Passo 6

Checagem rápida (sossega o coração): a derivada em x=1 é f'(1)=4^{1}\ln 4=4\ln 4, que coincide com o coeficiente pedido, e o ponto corresponde a f(1)=4. Tudo consistente.

Resposta

(a) y-16=16\ln 4\,(x-2)
(b) (1,4)

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