Uma população de animais em extinção cresce segundo P(t)=200+50 e^{0,05 t}, onde P é o número de animais e t é o tempo em anos:
(a) Encontre a taxa de crescimento da população P^{\prime}(t)
(b) Qual é a taxa de crescimento no início (t=0) ?

Passo 1

O enunciado fornece a função da população ao longo do tempo:
P(t)=200+50e^{0,05 t},
onde P é o número de animais e t é o tempo em anos. O que se pede:
  • (a) Encontrar a taxa de crescimento da população P'(t).
  • (b) Calcular a taxa de crescimento no início, isto é, P'(0).

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar regras básicas de derivação que vamos usar (explicadas devagar para não perder nenhum passo):
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se C é constante então \dfrac{d}{dt}C=0.
  • A derivada da função exponencial composta e^{u(t)} é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)},
onde u'(t) é a derivada de u(t) em relação a t.
  • No caso particular u(t)=k t (com k constante), tem-se u'(t)=k. Logo
\frac{d}{dt}e^{k t}=k e^{k t}.
Essas são as únicas coisas que precisamos aplicar aqui.

Passo 3

Agora aplicamos as regras à função P(t)=200+50e^{0,05 t}.
  1. Derivada da primeira parcela: \dfrac{d}{dt}200=0, porque 200 é constante.
  2. Derivada da segunda parcela: usamos que \dfrac{d}{dt}e^{0,05 t}=0,05\,e^{0,05 t} (pela regra acima com k=0,05). Então
\frac{d}{dt}\big(50e^{0,05 t}\big)=50\cdot\frac{d}{dt}e^{0,05 t}=50\cdot\big(0,05\,e^{0,05 t}\big).
Fazendo a multiplicação 50\cdot0,05 obtemos 2,5. Portanto
\frac{d}{dt}\big(50e^{0,05 t}\big)=2,5\,e^{0,05 t}.
Somando as duas parcelas, a derivada total é
P'(t)=0+2,5\,e^{0,05 t}=2,5\,e^{0,05 t}.

Passo 4

Agora avaliamos P'(t) em t=0. Substituindo t=0 em \;P'(t)=2,5\,e^{0,05 t}\;:
P'(0)=2,5\,e^{0,05\cdot 0}=2,5\,e^{0}=2,5\cdot 1=2,5.
Interpretação: P'(0)=2,5 significa que, no instante inicial, a população está crescendo a 2,5 animais por ano.

Passo 5

Resumo rápido para decorar: ao derivar uma soma deriva-se termo a termo; derivada de e^{k t} traz um fator k. Aqui o 50 multiplica e o 0,05 aparece pela regra da cadeia, resultando em 2,5 e^{0,05 t}. Vai dar pra resolver rapidinho na prova — respira fundo, faz devagar e aplica essas duas regras.

Resposta

P'(t)=2,5\,e^{0,05 t}
P'(0)=2,5 animais por ano

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