Uma população de animais em extinção cresce segundo
, onde
é o número de animais e
é o tempo em anos:
(a) Encontre a taxa de crescimento da população
(b) Qual é a taxa de crescimento no início
?
(a) Encontre a taxa de crescimento da população
(b) Qual é a taxa de crescimento no início
Passo 1
O enunciado fornece a função da população ao longo do tempo:
onde
é o número de animais e
é o tempo em anos. O que se pede:
- (a) Encontrar a taxa de crescimento da população
. - (b) Calcular a taxa de crescimento no início, isto é,
.
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar regras básicas de derivação que vamos usar (explicadas devagar para não perder nenhum passo):
- A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
é constante então . - A derivada da função exponencial composta
é dada pela regra da cadeia:
onde
é a derivada de
em relação a
.
- No caso particular
(com constante), tem-se . Logo
Essas são as únicas coisas que precisamos aplicar aqui.
Passo 3
Agora aplicamos as regras à função
.
-
Derivada da primeira parcela:
, porque é constante. -
Derivada da segunda parcela: usamos que
(pela regra acima com ). Então
Fazendo a multiplicação
obtemos
. Portanto
Somando as duas parcelas, a derivada total é
Passo 4
Agora avaliamos
em
. Substituindo
em
:
Interpretação:
significa que, no instante inicial, a população está crescendo a
animais por ano.
Passo 5
Resumo rápido para decorar: ao derivar uma soma deriva-se termo a termo; derivada de
traz um fator
. Aqui o
multiplica e o
aparece pela regra da cadeia, resultando em
. Vai dar pra resolver rapidinho na prova — respira fundo, faz devagar e aplica essas duas regras.