Para cada resposta ao impulso abaixo determine se o sistema correspondente é BIBO estável, causal e sem memória. Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado pede: para cada resposta ao impulso (cada h) determinar se o sistema correspondente é BIBO estável, se é causal e se é sem memória. As perguntas são, portanto, três para cada resposta ao impulso: estabilidade BIBO, causalidade e memória.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma resposta ao impulso foi enviada junto com a pergunta. Ou seja, não há explicitamente nenhum h[n] nem h(t) para eu analisar.
Portanto: falta a peça central necessária para dar as respostas específicas pedidas (as próprias respostas ao impulso). Vou, mesmo assim, ensinar passo a passo e mostrar exatamente como fazer esses testes na prova, com exemplos completos — assim, quando você tiver as respostas ao impulso (ou se elas aparecerem no exame), consegue aplicar o mesmo procedimento rapidinho.

Passo 2

O que significa BIBO estabilidade e como testá-la (explicação didática e prova curta).
Definição conceitual (em palavras simples): um sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado gera uma saída limitada. “Limitado” quer dizer que existe uma constante finita que maior ou igual ao valor absoluto do sinal em todo tempo.
Para sistemas LTI discretos a operação é convolução:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].
Se x[n] é limitado, existe M_x tal que |x[n]|\le M_x para todo n. Então, aplicando desigualdade triângulo e a propriedade do máximo:
|y[n]| \le \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|\,|x[n-k]| \le M_x \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|.
Logo, se
\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]| < \infty,
então y[n] é limitada por M_x vezes essa soma finita, e o sistema é BIBO estável. Essa condição é também necessária para LTI discreto: estabilidade BIBO ⇔ h[n] é absolutamente somável.
Para sistemas LTI contínuos a ideia é análoga com a integral de valor absoluto:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau,
e a condição de estabilidade é
\int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)|\,d\tau < \infty.
Resumo prático para a prova:
  • Se for discreto: calcule \sum_{n=-\infty}^\infty |h[n]|. Se for finita → estável; se diverge → instável.
  • Se for contínuo: calcule \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt. Se finita → estável; se diverge → instável.

Passo 3

Como testar causalidade (explicação e justificativa).
Definição conceitual: um sistema é causal se a saída no tempo presente depende apenas do valor presente e de valores passados da entrada — ou seja, nada do futuro.
Critério prático para LTI:
  • Discreto: o sistema é causal se, e somente se, h[n]=0 para todo n<0.
  • Contínuo: causal ⇔ h(t)=0 para todo t<0.
Justificativa curta (discreta): escrevendo a convolução
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k],
o termo h[k] multiplica x[n-k]. Se existir algum k<0 com h[k]\neq 0, então y[n] depende de x[n-k] com n-k>n, ou seja, de valores futuros de x. Portanto, para ser causal todos os h[k] com k<0 devem ser zero.
Resumo prático:
  • Olhe para o suporte de h. Se todo o suporte está em tempos não-negativos (ex.: k\ge 0), é causal. Se houver massa para tempos negativos, é não causal.

Passo 4

Como testar se o sistema é sem memória (memoryless) — explicação didática.
Definição conceitual: um sistema é sem memória se a saída em cada instante depende somente da entrada naquele mesmo instante.
Para LTI:
  • Discreto: isso acontece apenas quando h[n] é zero para todo n\neq 0; logo h[n]=K\,\delta[n] para alguma constante K. Então
y[n]=\sum_k h[k]x[n-k]=h[0]x[n].
  • Contínuo: sem memória ⇔ h(t)=K\,\delta(t).
Resumo prático: verifique se h é um múltiplo da delta em 0. Se sim → sem memória; se houver componente em outros instantes → tem memória.

Passo 5

Exemplos resolvidos passo a passo (práticos, para treinar e ficar seguro na prova)
Exemplo 1: h[n]=(1/2)^n u[n] (discreto)
  • Estabilidade: calcular \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|. Como h[n]=0 para n<0,
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = 2 < \infty.
Logo é BIBO estável.
  • Causalidade: h[n]=0 para n<0 (porque tem u[n]), então é causal.
  • Memória: h[n] não é nulo para n>0, então não é múltiplo de \delta[n]. Logo tem memória (não é sem memória).
Exemplo 2: h[n]=\delta[n-2]
  • Estabilidade: \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| =1 <\infty. Estável.
  • Causalidade: h[n]=0 para todo n<0 (o único ponto não-nulo é n=2), então é causal.
  • Memória: não é \propto\delta[n] centrado em zero (é deslocado), portanto tem memória (não sem memória).
Exemplo 3: h[n]=(1/2)^{|n|}
  • Estabilidade: calcular
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{|n|} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 1 + 2\cdot 1 = 3 <\infty.
Logo é BIBO estável.
  • Causalidade: h[n] é não-nulo para n<0 (por exemplo n=-1 (1/2)), logo é não causal.
  • Memória: tem memória (não é apenas \delta[n]).
Exemplo 4 (contínuo): h(t)=e^{-t}u(t)
  • Estabilidade: calcular
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1 <\infty.
Logo BIBO estável.
  • Causalidade: h(t)=0 para t<0, então é causal.
  • Memória: não é K\delta(t), portanto tem memória.
Esses exemplos mostram o fluxo de trabalho: calcular soma/integral absoluta para estabilidade; checar suporte negativo para causalidade; checar se é delta para memória.

Passo 6

Receita rápida (o que escrever na prova, passo a passo, sem perder tempo)
  1. Identifique se é sinal discreto h[n] ou contínuo h(t).
  2. Para estabilidade:
    • Discreto: calcule \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|.
    • Contínuo: calcule \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt.
    • Se finito → estável; se não finito → instável.
  3. Para causalidade:
    • Verifique se existe algum tempo negativo com h\neq 0.
    • Se sim → não causal; se todo h está em t\ge 0 ou n\ge 0 → causal.
  4. Para memória:
    • Cheque se h é múltiplo de delta central: h[n]=K\delta[n] ou h(t)=K\delta(t).
    • Se for → sem memória; caso contrário → com memória.
  5. Ao justificar, escreva a desigualdade para estabilidade (aquela com M_x) e mencione o teste de suporte para causalidade — isso ganha pontos.

Passo 7

Conclusão específica para o enunciado recebido: não há como dar as respostas pedidas (BIBO estável? causal? sem memória?) para “cada resposta ao impulso” porque as respostas ao impulso não foram fornecidas no enunciado. Quando você me enviar as h explícitas (uma lista de h[n] ou h(t)), eu aplico imediatamente o roteiro acima e te devolvo, passo a passo, as justificativas e a resposta final para cada uma — rapidinho, no mesmo estilo didático.
Vai dar tudo certo — mande as respostas ao impulso quando puder que eu resolvo direto na prática.

Resposta

Não é possível determinar a estabilidade BIBO, a causalidade e se os sistemas são sem memória porque as respostas ao impulso ( h[n] ou h(t)) não foram fornecidas no enunciado.

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