Determine se os seguintes sistemas são: (1) invariante no tempo, (2) linear, (3) causal ou (4) BIBO estável. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar quatro propriedades do sistema dado e justificar: (1) invariante no tempo, (2) linear, (3) causal e (4) BIBO estável. O sistema é descrito por
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão do sistema: a saída
é o produto da entrada por . - Não há indicação de restrição de domínio; então considerar sinais definidos para todo
.
As perguntas são exatamente verificar, com justificativa, cada uma das quatro propriedades acima.
Passo 2
Vou escrever o sistema como um operador linear potencial
agindo em
:
Explicando o que isso significa: para cada instante
, o operador calcula o valor da saída multiplicando o valor da entrada no mesmo instante
por um fator que depende de
, isto é, por
. Esse esclarecimento é importante para testar invariança, linearidade, causalidade e estabilidade.
Passo 3
Definição prática: um sistema é invariante no tempo se, para todo deslocamento
e para todo sinal
, vale
Calculemos os dois lados para este
.
Primeiro,
Primeiro,
Segundo,
Comparando, os dois lados são iguais para todo
e todo
só se
ou seja,
para todo
. Isso só ocorre (para todo
) quando
é um múltiplo inteiro de
; como a invariança no tempo exige que a igualdade valha para todo deslocamento arbitrário
, o sistema não é invariante no tempo. Um contra-exemplo simples: escolha
e
não nulo; então em geral
e os dois lados diferem, provando a não invariança.
Passo 4
Definição prática:
é linear se para quaisquer sinais
e escalares
vale
Calculemos o lado esquerdo:
Distribuindo:
Mas os termos à direita são exatamente
. Portanto a propriedade de superposição (aditividade e homogeneidade) vale e o sistema é linear. Observação didática: o fato de o fator multiplicador depender de
não quebra linearidade — ele apenas é um coeficiente escalar (função de
) que multiplica o sinal no mesmo instante; linearidade exige apenas que a operação satisfaça superposição ponto a ponto, o que acontece aqui.
Passo 5
Definição prática: um sistema é causal se, para cada tempo
, a saída em
depende apenas dos valores de entrada em instantes
(passado e presente), e não do futuro
.
Aqui a saída no instante é
Aqui a saída no instante
ou seja, depende apenas de
(valor presente) e de uma função de
conhecida (
). Não há dependência de valores
com
. Formalmente, se dois sinais
e
satisfazem
para todo
, então em particular
, e assim
Logo o sistema é causal.
Passo 6
Definição prática: BIBO estabilidade significa que qualquer entrada limitada por uma constante
, isto é
para todo
, produz uma saída também limitada por alguma constante
(possivelmente dependente de
).
Aqui:
Aqui:
Sabendo que
para todo
, temos
portanto
Se
então
Assim a saída é limitada por
, e o sistema é BIBO estável. (Comentário prático: o fator multiplicador é sempre finito e limitado, daí a estabilidade.)
Resposta
(1) Não.
(2) Sim.
(3) Sim.
(4) Sim.
(2) Sim.
(3) Sim.
(4) Sim.