Determine se os seguintes sistemas são: (1) invariante no tempo, (2) linear, (3) causal ou (4) BIBO estável. Justifique suas respostas.
(12,5 \mathrm{pts})(2+\sin (t)) x(t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar quatro propriedades do sistema dado e justificar: (1) invariante no tempo, (2) linear, (3) causal e (4) BIBO estável. O sistema é descrito por
y(t) = (2+\sin t)\,x(t).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão do sistema: a saída y(t) é o produto da entrada x(t) por 2+\sin t.
  • Não há indicação de restrição de domínio; então considerar sinais definidos para todo t\in\mathbb{R}.
    As perguntas são exatamente verificar, com justificativa, cada uma das quatro propriedades acima.

Passo 2

Vou escrever o sistema como um operador linear potencial T agindo em x:
T\{x\}(t)= (2+\sin t)\,x(t).
Explicando o que isso significa: para cada instante t, o operador calcula o valor da saída multiplicando o valor da entrada no mesmo instante x(t) por um fator que depende de t, isto é, por 2+\sin t. Esse esclarecimento é importante para testar invariança, linearidade, causalidade e estabilidade.

Passo 3

Definição prática: um sistema é invariante no tempo se, para todo deslocamento t_0 e para todo sinal x, vale
T\{x(t-t_0)\}(t)=T\{x\}(t-t_0).
Calculemos os dois lados para este T.
Primeiro,
T\{x(t-t_0)\}(t)=(2+\sin t)\,x(t-t_0).
Segundo,
T\{x\}(t-t_0)=(2+\sin(t-t_0))\,x(t-t_0).
Comparando, os dois lados são iguais para todo x e todo t só se
2+\sin t = 2+\sin(t-t_0)\quad\text{para todo }t,
ou seja, \sin t=\sin(t-t_0) para todo t. Isso só ocorre (para todo t) quando t_0 é um múltiplo inteiro de 2\pi; como a invariança no tempo exige que a igualdade valha para todo deslocamento arbitrário t_0, o sistema não é invariante no tempo. Um contra-exemplo simples: escolha t_0=1 e x não nulo; então em geral \sin t\neq\sin(t-1) e os dois lados diferem, provando a não invariança.

Passo 4

Definição prática: T é linear se para quaisquer sinais x_1,x_2 e escalares a,b vale
T\{a x_1 + b x_2\}(t)=a\,T\{x_1\}(t)+b\,T\{x_2\}(t).
Calculemos o lado esquerdo:
T\{a x_1 + b x_2\}(t)=(2+\sin t)\,(a x_1(t)+b x_2(t)).
Distribuindo:
(2+\sin t)\,(a x_1(t)+b x_2(t))=a(2+\sin t)x_1(t)+b(2+\sin t)x_2(t).
Mas os termos à direita são exatamente a\,T\{x_1\}(t)+b\,T\{x_2\}(t). Portanto a propriedade de superposição (aditividade e homogeneidade) vale e o sistema é linear. Observação didática: o fato de o fator multiplicador depender de t não quebra linearidade — ele apenas é um coeficiente escalar (função de t) que multiplica o sinal no mesmo instante; linearidade exige apenas que a operação satisfaça superposição ponto a ponto, o que acontece aqui.

Passo 5

Definição prática: um sistema é causal se, para cada tempo t_0, a saída em t_0 depende apenas dos valores de entrada em instantes \tau\le t_0 (passado e presente), e não do futuro \tau>t_0.
Aqui a saída no instante t é
y(t)=(2+\sin t)\,x(t),
ou seja, depende apenas de x(t) (valor presente) e de uma função de t conhecida ( 2+\sin t). Não há dependência de valores x(\tau) com \tau>t. Formalmente, se dois sinais x_1 e x_2 satisfazem x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t, então em particular x_1(t)=x_2(t), e assim
T\{x_1\}(t)=(2+\sin t)x_1(t)=(2+\sin t)x_2(t)=T\{x_2\}(t).
Logo o sistema é causal.

Passo 6

Definição prática: BIBO estabilidade significa que qualquer entrada limitada por uma constante M_x, isto é |x(t)|\le M_x para todo t, produz uma saída também limitada por alguma constante M_y (possivelmente dependente de M_x).
Aqui:
|y(t)|=|2+\sin t|\,|x(t)|.
Sabendo que \sin t\in[-1,1] para todo t, temos
2+\sin t \in [1,3] \quad\text{para todo }t,
portanto
|2+\sin t|\le 3\quad\text{para todo }t.
Se |x(t)|\le M_x então
|y(t)|\le 3\,M_x\quad\text{para todo }t.
Assim a saída é limitada por M_y=3M_x, e o sistema é BIBO estável. (Comentário prático: o fator multiplicador é sempre finito e limitado, daí a estabilidade.)

Resposta

(1) Não.
(2) Sim.
(3) Sim.
(4) Sim.

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