Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa. Justifique as afirmativas falsas.
Se um sistema LTI é causal, é estável.
Passo 1
O enunciado nos dá a afirmação a ser julgada: “Se um sistema LTI é causal, é estável.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, justificar (mostrar um contraexemplo ou explicar porque falha).
Informações relevantes dadas no enunciado: o sistema é LTI (linear e invariável no tempo) e causal (não depende do futuro). Não há mais dados numéricos; é uma afirmação geral sobre propriedades de sistemas.
Passo 2
Vamos fixar, de forma bem didática, as definições que vamos usar (essas são as ferramentas básicas; vou explicar o que cada símbolo significa).
Definição de causalidade (tempo discreto, versão análoga existe para tempo contínuo): um sistema é causal se a resposta no instante n depende apenas de entradas em instantes \le n. Em termos do impulso do sistema, isso significa que o impulso resposta h[n] satisfaz
h[n]=0\quad\text{para todo }n<0.
Aqui h[n] é a resposta do sistema ao impulso \delta[n] (ou seja, a saída quando a entrada é \delta[n]).
Definição de estabilidade BIBO (bounded-input bounded-output): um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada (limitada em valor absoluto) produz uma saída limitada. Formalmente, se existe M_x<\infty tal que |x[n]|\le M_x para todo n, então deve existir M_y<\infty dependendo só do sistema e de M_x tal que |y[n]|\le M_y para todo n.
Para sistemas LTI em tempo discreto, a saída y[n] é convolução entre entrada x[n] e resposta ao impulso h[n]:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].
Os mesmos conceitos valem em tempo contínuo com integrais no lugar de somas; vou focar no caso discreto (é suficiente para o contraexemplo e é típico em provas).
Condição clássica (teorema) de estabilidade para LTI: um sistema LTI é BIBO estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente somável:
\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|<\infty.
Vou explicar por que isso é suficiente (e depois por que não é obrigatório pela causalidade).
Passo 3
Prova da suficiência (por que \sum |h[k]|<\infty implica estabilidade BIBO). Isso é útil para entender a relação entre estabilidade e h.
Suponha |x[n]|\le M_x para todo n. Então, usando a expressão por convolução e a desigualdade triangular:
Se \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|<\infty, o lado direito é um número finito (depende de M_x e do sistema), portanto existe M_y=M_x\sum |h[k]| que limita |y[n]| para todo n. Conclusão: o sistema é BIBO estável. (Essa é a prova da suficiência; a necessidade também é clássica: se \sum |h[k]|=\infty dá para construir uma entrada limitada que produz saída ilimitada.)
Passo 4
Agora explico por que causalidade não força a soma acima a ser finita. A causalidade só impõe [h[k]=0) para k<0. Ou seja, h pode ser não nulo para todos os k\ge0. Nada na definição de causalidade impede que esses termos não decaiam suficientemente rápido; portanto a soma absoluta pode divergir. Assim, causalidade sozinha não garante estabilidade.
Vou fornecer um contraexemplo explícito e simples (muito usado em provas) mostrando um sistema LTI causal que não é BIBO estável.
Logo a condição necessária/suficiente de estabilidade para sistemas LTI não é satisfeita. Para ser bem explícito, constrói-se uma entrada limitada que gera saída não limitada:
Tome a entrada limitada |x[n]|\le 1; por exemplo escolha x[n]=1 para todo n. Então a saída é
ou seja, para qualquer n a soma diverge (não existe um valor finito de y[n]). Portanto a saída não é limitada apesar da entrada ser limitada. Conclusão: o sistema é causal e LTI, mas não é BIBO estável.
Observação (intuitiva): causalidade apenas diz que o sistema não olha para o futuro; estabilidade exige que a “energia” (ou, no sentido BIBO, a soma absoluta) da resposta ao impulso seja finita. São propriedades independentes — uma não implica a outra.]
Passo 5
Resumo final e lição prática para prova:
A afirmação “Se um sistema LTI é causal, é estável” é falsa.
Motivo: causalidade exige apenas h[n]=0 para n<0, não impõe que \sum |h[n]|<\infty. Um contraexemplo simples é h[n]=1 para n\ge0, que é causal e LTI mas não é BIBO estável (soma diverge e uma entrada limitada como x[n]=1 produz saída ilimitada).
Dica para a prova: lembrar sempre da condição necessária e suficiente para estabilidade BIBO em LTI: soma (ou integral, no contínuo) absoluta finita da resposta ao impulso. Causalidade é uma condição sobre suporte de h (apenas zeros para tempo negativo) e não controla a soma absoluta.