Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos x[n] é uma entrada qualquer, y[n] é a resposta à entrada x[n] e u[n] é o degrau unitário.
(10 \mathrm{pts}) y[n]=n x[n]

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto
y[n]=n\,x[n]
e pede que eu determine, para esse sistema, se ele é:
  • causal ou não causal;
  • com memória (tem memória) ou sem memória (memoryless);
  • linear ou não linear;
  • invariante no tempo (time-invariant) ou variante no tempo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação explícita entre entrada e saída é y[n]=n\,x[n].
  • x[n] é uma entrada qualquer e y[n] é a resposta correspondente.
  • Não há mais restrições ou condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Causalidade — definição e teste prático.
Definição didática: um sistema é causal se a saída em tempo n, isto é y[n], depende apenas dos valores presentes e passados da entrada: \{x[k]\mid k\le n\}. Em outras palavras, para ser causal a saída não pode depender de valores futuros x[k] com k>n.
Aplicando ao sistema: \;y[n]=n\,x[n].
  • A saída em tempo n depende somente de x[n] multiplicado por n.
  • O fator n é apenas o índice do tempo (uma constante conhecida no instante n), não um valor da entrada em um tempo futuro.
  • Não há referência a x[k] com k>n.
Portanto o sistema não usa informações futuras de x para formar y[n]. Conclusão: o sistema é causal.
Comentário amigável: pensar assim ajuda na prova — se na fórmula aparece x[n+1] ou x[n+5] seria não causal; aqui aparece só x[n], então é causal.

Passo 3

Memória (memoryless) — definição e verificação.
Definição didática: um sistema é sem memória (memoryless) se a saída em tempo n depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante n. Ou seja, y[n] deve ser função somente de x[n] (e possivelmente de constantes), não de x[k] com k\ne n.
Aplicando ao sistema: \;y[n]=n\,x[n].
  • y[n] depende apenas de x[n] e do índice n (o qual é uma constante conhecida naquele instante).
  • Não há dependência de x em instantes diferentes de n.
Logo o sistema é sem memória (memoryless).
Exemplo simples para fixar: se x[3]=2 então y[3]=3\cdot 2=6. Para calcular y[3] não precisei de x[2] nem de x[4].

Passo 4

Linearidade — definição e verificação por superposição.
Definição didática: um sistema T é linear se, para quaisquer sinais x_1[n],x_2[n] e escalares a,b, vale
T\{a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\}=a\,T\{x_1[n]\}+b\,T\{x_2[n]\}.
Isto equivale a verificar homogeneidade e aditividade.
Aplicando ao sistema T\{x[n]\}=n\,x[n]:
  • Primeiro calcule T\{a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\}:
T\{a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\}=n\bigl(a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\bigr)=a\,n\,x_1[n]+b\,n\,x_2[n].
  • Agora calcule a\,T\{x_1[n]\}+b\,T\{x_2[n]\}:
a\,T\{x_1[n]\}+b\,T\{x_2[n]\}=a\,\bigl(n\,x_1[n]\bigr)+b\,\bigl(n\,x_2[n]\bigr)=a\,n\,x_1[n]+b\,n\,x_2[n].
Os dois resultados coincidem para quaisquer a,b,x_1,x_2. Portanto o sistema é linear.
Dica prática: multiplicar por n é uma operação linear porque é multiplicação por uma “constante” (no sentido do operador linear, já que n não depende do sinal de entrada), então superposição vale.

Passo 5

Invariância no tempo — definição e teste com deslocamento.
Definição didática: um sistema é invariante no tempo se um deslocamento da entrada resulta no mesmo deslocamento na saída, sem modificar a “forma” adicionalmente. Formalmente, para todo deslocamento inteiro n_0 e todo sinal x[n],
T\{x[n-n_0]\} \stackrel{?}{=} y[n-n_0],
onde y[n]=T\{x[n]\}.
Teste para o sistema T\{x[n]\}=n\,x[n]:
  • Calcule T\{x[n-n_0]\}:
T\{x[n-n_0]\}=n\;x[n-n_0].
  • Calcule y[n-n_0] onde y[n]=n\,x[n]:
y[n-n_0]=(n-n_0)\;x[n-n_0].
Comparando:
T\{x[n-n_0]\}=n\,x[n-n_0]\quad\text{versus}\quad y[n-n_0]=(n-n_0)\,x[n-n_0].
Em geral n\ne n-n_0 (para n_0\ne 0), então as duas expressões não coincidem; portanto o sistema NÃO é invariante no tempo — é variante no tempo.
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição:
  • Escolha n_0=1 e x[n]=\delta[n] (impulso de Kronecker).
  • Para x[n]=\delta[n] temos y[n]=n\delta[n]. Como \delta[n] é zero para n\ne 0 e 1 em n=0, então y[0]=0\cdot 1=0 e y[n]=0 para todo n — saída identicamente zero.
  • Agora aplique o sistema a x[n-1]=\delta[n-1]: T\{\delta[n-1]\}=n\delta[n-1]. Aqui a saída é zero exceto em n=1 onde vale 1. Ou seja, T\{\delta[n-1]\} não é o deslocamento de T\{\delta[n]\} (que era todo zero). Logo claramente variante no tempo.
Comentário amistoso: multiplicar por n “marca” o tempo na saída; isso é exatamente o que quebra a invariância no tempo.

Passo 6

Resumo final rápido e encorajador: já temos todas as classificações, e fizemos testes formais (causalidade por dependência só do presente/passat, memória por depender só de x[n], linearidade por superposição, e falta de invariância por falha do teste de deslocamento). Você consegue reproduzir isso na prova: escreva as definições curtas e aplique as substituições como fiz aqui.

Resposta

Causal.
Sem memória (memoryless).
Linear.
Variant no tempo (não invariante no tempo).

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