Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos
é uma entrada qualquer,
é a resposta à entrada
e
é o degrau unitário.
Passo 1
O enunciado dá o sistema discreto
e pede que eu determine, para esse sistema, se ele é:
- causal ou não causal;
- com memória (tem memória) ou sem memória (memoryless);
- linear ou não linear;
- invariante no tempo (time-invariant) ou variante no tempo.
Informações relevantes fornecidas:
- A relação explícita entre entrada e saída é
. -
é uma entrada qualquer e é a resposta correspondente. - Não há mais restrições ou condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Causalidade — definição e teste prático.
Definição didática: um sistema é causal se a saída em tempo
, isto é
, depende apenas dos valores presentes e passados da entrada:
. Em outras palavras, para ser causal a saída não pode depender de valores futuros
com
.
Aplicando ao sistema:
.
- A saída em tempo
depende somente de multiplicado por . - O fator
é apenas o índice do tempo (uma constante conhecida no instante ), não um valor da entrada em um tempo futuro. - Não há referência a
com .
Portanto o sistema não usa informações futuras de
para formar
. Conclusão: o sistema é causal.
Comentário amigável: pensar assim ajuda na prova — se na fórmula aparece
ou
seria não causal; aqui aparece só
, então é causal.
Passo 3
Memória (memoryless) — definição e verificação.
Definição didática: um sistema é sem memória (memoryless) se a saída em tempo
depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante
. Ou seja,
deve ser função somente de
(e possivelmente de constantes), não de
com
.
Aplicando ao sistema:
.
-
depende apenas de e do índice (o qual é uma constante conhecida naquele instante). - Não há dependência de
em instantes diferentes de .
Logo o sistema é sem memória (memoryless).
Exemplo simples para fixar: se
então
. Para calcular
não precisei de
nem de
.
Passo 4
Linearidade — definição e verificação por superposição.
Definição didática: um sistema
é linear se, para quaisquer sinais
e escalares
, vale
Isto equivale a verificar homogeneidade e aditividade.
Aplicando ao sistema
:
- Primeiro calcule
:
- Agora calcule
:
Os dois resultados coincidem para quaisquer
. Portanto o sistema é linear.
Dica prática: multiplicar por
é uma operação linear porque é multiplicação por uma “constante” (no sentido do operador linear, já que
não depende do sinal de entrada), então superposição vale.
Passo 5
Invariância no tempo — definição e teste com deslocamento.
Definição didática: um sistema é invariante no tempo se um deslocamento da entrada resulta no mesmo deslocamento na saída, sem modificar a “forma” adicionalmente. Formalmente, para todo deslocamento inteiro
e todo sinal
,
onde
.
Teste para o sistema
:
- Calcule
:
- Calcule
onde :
Comparando:
Em geral
(para
), então as duas expressões não coincidem; portanto o sistema NÃO é invariante no tempo — é variante no tempo.
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição:
- Escolha
e (impulso de Kronecker). - Para
temos . Como é zero para e em , então e para todo — saída identicamente zero. - Agora aplique o sistema a
: . Aqui a saída é zero exceto em onde vale . Ou seja, não é o deslocamento de (que era todo zero). Logo claramente variante no tempo.
Comentário amistoso: multiplicar por
“marca” o tempo na saída; isso é exatamente o que quebra a invariância no tempo.
Passo 6
Resumo final rápido e encorajador: já temos todas as classificações, e fizemos testes formais (causalidade por dependência só do presente/passat, memória por depender só de
, linearidade por superposição, e falta de invariância por falha do teste de deslocamento). Você consegue reproduzir isso na prova: escreva as definições curtas e aplique as substituições como fiz aqui.
Resposta
Causal.
Sem memória (memoryless).
Linear.
Variant no tempo (não invariante no tempo).
Sem memória (memoryless).
Linear.
Variant no tempo (não invariante no tempo).