Para cada reta abaixo, determine se é paralela a algum eixo coordenado ( x, y, z ) ou a algum plano coordenado ( x y, x z, y z ):
t:\left\{\begin{array}{l}\frac{y+2}{3}=\frac{z}{4} \\\ x=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta
t:\begin{cases} \dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z}{4},\\\ x=1 \end{cases}
e pede para determinar se ela é paralela a algum eixo coordenado x, y ou z ou a algum plano coordenado xy, xz ou yz. Para isso, vamos extrair o vetor direção de t e depois testar colinearidade com os eixos e ortogonalidade com as normais dos planos.

Passo 2

Escrevendo t em forma paramétrica, igualamos
\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z}{4}=\lambda.
Daí
y+2=3\lambda,\quad z=4\lambda,\quad x=1.
Logo
x(\lambda)=1,\quad y(\lambda)=3\lambda-2,\quad z(\lambda)=4\lambda
e o vetor direção é
\mathbf{v}=(0,3,4).

Passo 3

Para ser paralela a um eixo, \mathbf{v} deve ser múltiplo do vetor diretor desse eixo:
  • Eixo x: direção (1,0,0). Não há \alpha tal que (0,3,4)=\alpha(1,0,0).
  • Eixo y: direção (0,1,0). Não há \alpha tal que (0,3,4)=\alpha(0,1,0) (o componente z não some).
  • Eixo z: direção (0,0,1). Não há \alpha tal que (0,3,4)=\alpha(0,0,1) (o componente y não some).
    Portanto, t não é paralela a nenhum eixo.

Passo 4

Para ser paralela a um plano, \mathbf{v} deve ser ortogonal à normal desse plano. As normais dos planos coordenados são:
  • Plano xy: \mathbf{n}_{xy}=(0,0,1). \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_{xy}=4\neq0.
  • Plano xz: \mathbf{n}_{xz}=(0,1,0). \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_{xz}=3\neq0.
  • Plano yz: \mathbf{n}_{yz}=(1,0,0). \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_{yz}=0.
Só no caso do plano yz a condição de ortogonalidade dá zero, logo t é paralela ao plano yz.

Resposta

A reta t não é paralela a nenhum eixo coordenado e é paralela ao plano yz.

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