Para cada reta abaixo, determine se é paralela a algum eixo coordenado ( x, y, z ) ou a algum plano coordenado ( x y, x z, y z ):
s:\left\{\begin{array}{l}x=5 \\\ y=2+3 t \\\ z=-1-2 t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta s em forma paramétrica:
x = 5,\quad y = 2 + 3t,\quad z = -1 - 2t.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para decidir paralelismo com eixos e com planos coordenados, vamos extrair o vetor diretor e usar testes de colinearidade (para eixos) e de ortogonalidade (para planos).

Passo 2

O vetor diretor \vec v da reta aparece nos coeficientes de t. Assim,
\vec v = (0,\,3,\,-2).

Passo 3

Para ver se s é paralela a algum eixo, comparamos \vec v com os vetores unitários dos eixos:
– eixo x: (1,0,0)
– eixo y: (0,1,0)
– eixo z: (0,0,1)
Como \vec v não é múltiplo de nenhum desses três, concluímos que s não é paralela a nenhum dos eixos coordenados.

Passo 4

Para testar paralelismo a um plano, verificamos se \vec v é ortogonal ao vetor normal desse plano. Os normais dos planos coordenados são:
– plano xy: (0,0,1) com \vec v\cdot(0,0,1)=-2\neq0, não é paralelo
– plano xz: (0,1,0) com \vec v\cdot(0,1,0)=3\neq0, não é paralelo
– plano yz: (1,0,0) com \vec v\cdot(1,0,0)=0, logo é paralelo

Resposta

A reta s não é paralela a nenhum eixo coordenado; ela é paralela ao plano coordenado yz.

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