Para cada reta abaixo, determine se é paralela a algum eixo coordenado ( x, y, z ) ou a algum plano coordenado ( x y, x z, y z ):
r:(x, y, z)=(2,-1,3)+t(0,4,0)

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\;(x,y,z)=(2,-1,3)+t\,(0,4,0).
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para decidir paralelismo com eixos e planos coordenados, vamos usar o vetor diretor da reta e compará-lo com os vetores diretores dos eixos e com as normais dos planos.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor \vec v=(0,4,0).
Os vetores diretores dos eixos são \vec e_x=(1,0,0), \vec e_y=(0,1,0) e \vec e_z=(0,0,1).
Como
\vec v = 4\,\vec e_y,
segue que r é paralela ao eixo y.

Passo 3

As normais aos planos coordenados são \vec n_{xy}=(0,0,1), \vec n_{xz}=(0,1,0) e \vec n_{yz}=(1,0,0).
Uma reta é paralela a um plano se o seu vetor diretor é ortogonal à normal do plano, isto é, o produto escalar é zero. Calculamos:
\vec v\cdot\vec n_{xy}=0,\qquad \vec v\cdot\vec n_{xz}=4,\qquad \vec v\cdot\vec n_{yz}=0.
Portanto, r é paralela aos planos xy e yz, mas não ao plano xz.

Resposta

A reta r é paralela ao eixo y e paralela aos planos coordenados xy e yz.

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