Determine as equações na forma paramétrica e simétrica da reta que:
Passa pelos pontos A(2,-1,3) e B(2,5,3)

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa pelos pontos A(2,-1,3) e B(2,5,3). O conteúdo aqui é a representação de uma reta no espaço em formas vetorial/paramétrica e simétrica. Para isso, precisamos do vetor diretor obtido de \overrightarrow{AB} e então escrever as equações.

Passo 2

Calculemos o vetor diretor \vec v=\overrightarrow{AB}.
\vec v = B - A = (2,5,3) - (2,-1,3) = (0,\;6,\;0).

Passo 3

Na forma vetorial/paramétrica, escolhemos um parâmetro t e escrevemos
\mathbf r(t) = A + t\,\vec v = (2,-1,3) + t\,(0,6,0).
Separando em coordenadas, obtemos
x = 2 + 0\cdot t = 2, \quad y = -1 + 6\,t, \quad z = 3 + 0\cdot t = 3.

Passo 4

Para a forma simétrica normalmente escrevemos
\frac{x - 2}{0} \;=\;\frac{y + 1}{6}\;=\;\frac{z - 3}{0}.
Como não se pode dividir por zero, destacamos que
x = 2, \quad z = 3, \quad \text{e} \quad \frac{y + 1}{6}\;\text{é o parâmetro livre.}éâ

Resposta

Paramétrica:
\begin{cases} x = 2,\\\ y = -1 + 6\,t,\\\ z = 3, \end{cases} \quad t\in\mathbb R.
Simétrica (destacando constantes em x e z):
x = 2, \quad z = 3, \quad \frac{y + 1}{6}\;\text{livre}.

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