Cada rolo de tecido de 500 m contém, em média, duas imperfeições. Qual a probabilidade de que um segmento específico de:
300 m de tecido não contenha três imperfeições?
300 m de tecido não contenha três imperfeições?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um rolo de tecido de
m contém, em média, imperfeições. - Pergunta: qual a probabilidade de que um segmento específico de
m de tecido não contenha três imperfeições?
Vou listar claramente o que foi dado:
- Comprimento do rolo de referência:
m. - Número médio de imperfeições por
m: . - Comprimento do segmento de interesse:
m. - Evento pedido: “não contenha três imperfeições” — isto pode ser interpretado de duas maneiras:
- “não contenha exatamente três imperfeições” (ou seja, número de imperfeições
); - “não contenha três imperfeições” no sentido de “conte menos que três imperfeições” (ou seja, número de imperfeições
).
Vou calcular as duas interpretações para evitar ambiguidade.
- “não contenha exatamente três imperfeições” (ou seja, número de imperfeições
Passo 2
Modelagem (por que usar Poisson e como ajustar a média):
- Quando contamos ocorrências raras e independentes distribuídas ao longo de uma extensão (aqui, comprimento do tecido), é natural modelar o número de imperfeições por um segmento como uma variável aleatória de Poisson.
- A média (parâmetro) da Poisson é proporcional ao comprimento. Se em
m a média é , então em m a média será
Calculemos
:
Logo a variável aleatória
= número de imperfeições no segmento de
m segue a distribuição de Poisson com parâmetro
:
.
Passo 3
Fórmula da Poisson e significado das variáveis:
- Para uma Poisson com parâmetro
, a probabilidade de ocorrer exatamente eventos é
onde
é a média esperada e
é o fatorial de
.
- Precisamos calcular
porque uma das interpretações envolve e a outra envolve somar .
Calcule
:
Vamos calcular passo a passo:
-
-
-
(valor numérico): (valor conhecido ou calculado).
Agora:
Passo 4
Interpretação 1 — “não contenha exatamente três imperfeições” (ou seja,
):
- A probabilidade é
Usando o valor calculado:
Interpretação 2 — “conte menos que três imperfeições” (ou seja,
):
- Calcular
.
Calcule cada termo usando a fórmula da Poisson:
Somando:
Passo 5
Interpretação e comentário final:
- Se a pergunta quis dizer “não contenha exatamente três imperfeições”, a resposta é
. - Se a pergunta quis dizer “não contenha três imperfeições” no sentido de “tenha menos de três” (ou seja, no máximo duas), a resposta é
.
Boa notícia: ambos os valores são grandes, então é relativamente provável que um segmento dem não tenha exatamente três imperfeições nem tenha três ou mais — depende só da interpretação.
Resposta
Probabilidade de não conter exatamente três imperfeições:
Probabilidade de conter menos que três imperfeições (ou seja, no máximo duas):