Cada rolo de tecido de 500 m contém, em média, duas imperfeições. Qual a probabilidade de que um segmento específico de:
300 m de tecido não contenha três imperfeições?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um rolo de tecido de 500 m contém, em média, 2 imperfeições.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que um segmento específico de 300 m de tecido não contenha três imperfeições?
Vou listar claramente o que foi dado:
  • Comprimento do rolo de referência: 500 m.
  • Número médio de imperfeições por 500 m: \text{média}=2é.
  • Comprimento do segmento de interesse: 300 m.
  • Evento pedido: “não contenha três imperfeições” — isto pode ser interpretado de duas maneiras:
    1. “não contenha exatamente três imperfeições” (ou seja, número de imperfeições \neq 3);
    2. “não contenha três imperfeições” no sentido de “conte menos que três imperfeições” (ou seja, número de imperfeições \le 2).
      Vou calcular as duas interpretações para evitar ambiguidade.

Passo 2

Modelagem (por que usar Poisson e como ajustar a média):
  • Quando contamos ocorrências raras e independentes distribuídas ao longo de uma extensão (aqui, comprimento do tecido), é natural modelar o número de imperfeições por um segmento como uma variável aleatória de Poisson.
  • A média (parâmetro) da Poisson é proporcional ao comprimento. Se em 500 m a média é 2, então em 300 m a média será
\lambda = 2\cdot\frac{300}{500}.
Calculemos \lambda:
\lambda = 2\cdot\frac{300}{500}=2\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{5}=1{,}2.
Logo a variável aleatória X = número de imperfeições no segmento de 300 m segue a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=1{,}2: X\sim\text{Poisson}(\lambda=1{,}2).

Passo 3

Fórmula da Poisson e significado das variáveis:
  • Para uma Poisson com parâmetro \lambda, a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde \lambda é a média esperada e k! é o fatorial de k.
  • Precisamos calcular P(X=3) porque uma das interpretações envolve P(X\neq 3)=1-P(X=3) e a outra envolve somar P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
Calcule P(X=3):
P(X=3)=e^{-1{,}2}\frac{(1{,}2)^{3}}{3!}.
Vamos calcular passo a passo:
  • (1{,}2)^{3}=1{,}2\times1{,}2\times1{,}2=1{,}728.
  • 3!=6.
  • e^{-1{,}2} (valor numérico): e^{-1{,}2}\approx0{,}3011942 (valor conhecido ou calculado).
    Agora:
P(X=3)\approx 0{,}3011942\cdot\frac{1{,}728}{6}=0{,}3011942\cdot0{,}288\approx0{,}0867439.

Passo 4

Interpretação 1 — “não contenha exatamente três imperfeições” (ou seja, X\neq3):
  • A probabilidade é
P(X\neq3)=1-P(X=3).
Usando o valor calculado:
P(X\neq3)\approx 1-0{,}0867439\approx0{,}9132561\approx0{,}9133\\ (\text{arred.}).
Interpretação 2 — “conte menos que três imperfeições” (ou seja, X\le2):
  • Calcular P(X\le2)=P(0)+P(1)+P(2).
    Calcule cada termo usando a fórmula da Poisson:
P(0)=e^{-1{,}2}\frac{(1{,}2)^{0}}{0!}=e^{-1{,}2}\approx0{,}3011942,
P(1)=e^{-1{,}2}\frac{(1{,}2)^{1}}{1!}=e^{-1{,}2}\cdot1{,}2\approx0{,}3011942\cdot1{,}2\approx0{,}3614330,
P(2)=e^{-1{,}2}\frac{(1{,}2)^{2}}{2!}=e^{-1{,}2}\cdot\frac{1{,}44}{2}=e^{-1{,}2}\cdot0{,}72\approx0{,}3011942\cdot0{,}72\approx0{,}2168598.
Somando:
P(X\le2)\approx0{,}3011942+0{,}3614330+0{,}2168598=0{,}8794870\approx0{,}8795\\ (\text{arred.}).

Passo 5

Interpretação e comentário final:
  • Se a pergunta quis dizer “não contenha exatamente três imperfeições”, a resposta é P(X\neq3)\approx0{,}9133.
  • Se a pergunta quis dizer “não contenha três imperfeições” no sentido de “tenha menos de três” (ou seja, no máximo duas), a resposta é P(X\le2)\approx0{,}8795.
    Boa notícia: ambos os valores são grandes, então é relativamente provável que um segmento de 300 m não tenha exatamente três imperfeições nem tenha três ou mais — depende só da interpretação.

Resposta

Probabilidade de não conter exatamente três imperfeições: 0,9133
Probabilidade de conter menos que três imperfeições (ou seja, no máximo duas): 0,8795

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