Se um posto de gasolina recebe em média três cheques sem fundos por dia, qual é a probabilidade de receber:
a) quatro cheques sem fundos em um dia qualquer?
b) pelo menos dois cheques sem fundos em dois dias?
a) quatro cheques sem fundos em um dia qualquer?
b) pelo menos dois cheques sem fundos em dois dias?
Passo 1
O enunciado dá a informação e pede o seguinte:
- Informação dada:
- Em média chegam três cheques sem fundos por dia. (Peguei esse valor do enunciado.)
- Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade de receber quatro cheques sem fundos em um dia qualquer?
- (b) Qual a probabilidade de receber pelo menos dois cheques sem fundos em dois dias?
Passo 2
Motivação e modelo (explicação didática do que vamos usar).
- Quando eventos raros ocorrem com uma taxa média por intervalo de tempo conhecida e os eventos em intervalos disjuntos são independentes, um modelo apropriado é a distribuição de Poisson.
- A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos num intervalo, e a fórmula é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo considerado, -
é a média (valor esperado) de eventos nesse intervalo, -
significa fatorial de (por exemplo ), -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente . - No problema: para um dia,
(média de três cheques por dia). Para dois dias, como contagens em dias distintos são independentes, a soma tem distribuição de Poisson com parâmetro somado: . Vou usar essas ideias para calcular as probabilidades pedidas.
Passo 3
Resolvendo (a): probabilidade de exatamente quatro cheques em um dia.
- Usando a fórmula com
e :
- Calcule passo a passo:
-
-
- Portanto a fração é
- Agora multiplica por
: . - Logo
.
-
- Interpretação numérica: isso equivale a cerca de
ou .
Passo 4
Comentário rápido sobre (a) para prova:
- Se pedir forma exata, entregue
. - Se pedir valor numérico, entregue aproximadamente
(ou ). - É útil memorizar a fórmula e praticar cálculos de
e potências pequenas para fazer isso rápido na prova.
Passo 5
Resolvendo (b): probabilidade de pelo menos dois cheques em dois dias.
- Interpretação adotada: considerar o total acumulado em um período de dois dias. (Como a média é dada por dia e os dias são disjuntos, soma-se o parâmetro.)
- Parâmetro para dois dias:
. - Queremos
com Poisson( ). - É mais simples usar o complementar:
- Calcule
e : -
- Some:
- Então:
- Valores numéricos:
-
. -
- Logo
-
- Interpretação numérica: cerca de
ou .
Resposta
(a)
(b)