Se um posto de gasolina recebe em média três cheques sem fundos por dia, qual é a probabilidade de receber:
a) quatro cheques sem fundos em um dia qualquer?
b) pelo menos dois cheques sem fundos em dois dias?

Passo 1

O enunciado dá a informação e pede o seguinte:
  • Informação dada:
    • Em média chegam três cheques sem fundos por dia. (Peguei esse valor do enunciado.)
  • Perguntas:
    • (a) Qual a probabilidade de receber quatro cheques sem fundos em um dia qualquer?
    • (b) Qual a probabilidade de receber pelo menos dois cheques sem fundos em dois dias?

Passo 2

Motivação e modelo (explicação didática do que vamos usar).
  • Quando eventos raros ocorrem com uma taxa média por intervalo de tempo conhecida e os eventos em intervalos disjuntos são independentes, um modelo apropriado é a distribuição de Poisson.
  • A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos num intervalo, e a fórmula é:
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo considerado,
  • \lambda é a média (valor esperado) de eventos nesse intervalo,
  • k! significa fatorial de k (por exemplo 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24),
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2{,}71828.
  • No problema: para um dia, \lambda=3 (média de três cheques por dia). Para dois dias, como contagens em dias distintos são independentes, a soma tem distribuição de Poisson com parâmetro somado: \lambda_{2\;dias}=2\cdot3=6. Vou usar essas ideias para calcular as probabilidades pedidas.

Passo 3

Resolvendo (a): probabilidade de exatamente quatro cheques em um dia.
  • Usando a fórmula com \lambda=3 e k=4:
\Pr(X=4)=e^{-3}\frac{3^{4}}{4!}.
  • Calcule passo a passo:
    • 3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81.
    • 4!=24.
    • Portanto a fração é \dfrac{3^{4}}{4!}=\dfrac{81}{24}=3{,}375.
    • Agora multiplica por e^{-3}: e^{-3}\approx0{,}049787068.
    • Logo \Pr(X=4)\approx 0{,}049787068\times3{,}375\approx0{,}168031.
  • Interpretação numérica: isso equivale a cerca de 0{,}1680 ou 16{,}80\%.

Passo 4

Comentário rápido sobre (a) para prova:
  • Se pedir forma exata, entregue \Pr(X=4)=e^{-3}\dfrac{3^{4}}{4!}.
  • Se pedir valor numérico, entregue aproximadamente 0{,}1680 (ou 16{,}80\%).
  • É útil memorizar a fórmula e praticar cálculos de k! e potências pequenas para fazer isso rápido na prova.

Passo 5

Resolvendo (b): probabilidade de pelo menos dois cheques em dois dias.
  • Interpretação adotada: considerar o total acumulado em um período de dois dias. (Como a média é dada por dia e os dias são disjuntos, soma-se o parâmetro.)
  • Parâmetro para dois dias: \lambda_{2}=2\cdot3=6.
  • Queremos \Pr(X\ge2) com X\sim Poisson( \lambda=6).
  • É mais simples usar o complementar:
\Pr(X\ge2)=1-\Pr(X\le1)=1-\big(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\big).
  • Calcule \Pr(X=0) e \Pr(X=1):
    • \Pr(X=0)=e^{-6}\dfrac{6^{0}}{0!}=e^{-6}.
    • \Pr(X=1)=e^{-6}\dfrac{6^{1}}{1!}=6e^{-6}.
  • Some:
\Pr(X=0)+\Pr(X=1)=e^{-6}\big(1+6\big)=7e^{-6}.
  • Então:
\Pr(X\ge2)=1-7e^{-6}.
  • Valores numéricos:
    • e^{-6}\approx0{,}002478752.
    • 7e^{-6}\approx7\times0{,}002478752\approx0{,}017351264.
    • Logo \Pr(X\ge2)\approx1-0{,}017351264\approx0{,}982648736.
  • Interpretação numérica: cerca de 0{,}98265 ou 98{,}2649\%.

Resposta

(a) \Pr(X=4)=e^{-3}\dfrac{3^{4}}{4!}\approx0{,}168031
(b) \Pr(X\ge2)=1-7e^{-6}\approx0{,}9826487

Exercícios relacionados