O salário médio dos funcionários de uma empresa é de \mathrm{R} \ 800,00 , com desvio-padrão deã\mathrm{R} $300,00 . Qual a probabilidade de que, selecionando-se aleatoriamente um funcionário, ele receba: entre \(\mathrm{R} \\) 550,00\(e\)\mathrm{R} \$750,00;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que foi dado e do que se pede):
  • Média dos salários: \mu = \mathrm{R}\$\,800{,}00.
  • Desvio-padrão: \sigma = \mathrm{R}\$\,300{,}00.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, ao escolher aleatoriamente um funcionário, seu salário esteja entre \mathrm{R}\$\,550{,}00 e \mathrm{R}\$\,750{,}00.

Passo 2

Qual modelo usar (sem resolver ainda): normalmente, problemas de probabilidade com média e desvio-padrão pedem que se assuma a distribuição normal para a variável (salário) quando não há outra indicação. Aqui vamos assumir que o salário é uma variável aleatória aproximadamente normal com média \mu e desvio-padrão \sigma. Essa é uma hipótese padrão em exercícios desse tipo.
Explicando a ideia principal (aula curtinha): se X é normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). A probabilidade que queremos é
P(550 < X < 750).
Para trabalhar com a tabela padrão (ou calculadora), transformamos X em uma variável normal padrão Z que tem média 0 e desvio-padrão 1.

Passo 3

Fórmula de padronização e significado das variáveis (explicação didática):
  • A padronização transforma qualquer normal em normal padrão pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (salário),
  • \mu é a média da distribuição,
  • \sigma é o desvio-padrão,
  • Z é a nova variável com distribuição N(0,1).
    A razão para isso é que subtrair \mu centraliza a distribuição em zero e dividir por \sigma normaliza a escala para desvio-padrão 1. Depois usamos a tabela da normal padrão para obter probabilidades.

Passo 4

Calcular os escores- z das duas bordas 550 e 750 (contando detalhadamente as contas):
z_1=\frac{550-\mu}{\sigma}=\frac{550-800}{300}=\frac{-250}{300}=-\frac{5}{6}\approx -0,833333\ldots
z_2=\frac{750-\mu}{\sigma}=\frac{750-800}{300}=\frac{-50}{300}=-\frac{1}{6}\approx -0,166666\ldots
Portanto estamos buscando
P(550<X<750)=P\bigl(z_1<Z<z_2\bigr)=P\bigl(-0,83333<Z<-0,16667\bigr).

Passo 5

Usar a simetria da normal padrão para trabalhar com valores positivos (explicação didática):
A função de distribuição da normal tem a propriedade
\Phi(-a)=1-\Phi(a),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Assim,
P\bigl(-0,83333<Z<-0,16667\bigr)=\Phi(-0,16667)-\Phi(-0,83333).
Usando a propriedade acima,
\Phi(-0,16667)=1-\Phi(0,16667), \qquad \Phi(-0,83333)=1-\Phi(0,83333).
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\Phi(-0,16667)-\Phi(-0,83333)=\bigl(1-\Phi(0,16667)\bigr)-\bigl(1-\Phi(0,83333)\bigr)=\Phi(0,83333)-\Phi(0,16667).
Ou seja, podemos buscar os valores de \Phi para 0,16667 e 0,83333 em uma tabela da normal padrão (ou usar calculadora).

Passo 6

Consulta da tabela da normal padrão e interpolação (mostrando os valores usados):
  • Da tabela (valores usuais):
    • \Phi(0,16)=0,5636.
    • \Phi(0,17)=0,5675.
    • Interpolando para 0,16667 (que está a 0{,}6667 da distância entre 0{,}16 e 0{,}17):
    \Phi(0,16667)\approx 0,5636+0{,}6667\cdot(0,5675-0,5636)=0,5636+0,6667\cdot0,0039\approx 0,5662.
  • Para 0,83333:
    • \Phi(0,83)=0,7967.
    • \Phi(0,84)=0,7995.
    • Interpolando para 0,83333 (que está a 0{,}3333 da distância entre 0{,}83 e 0{,}84):
    \Phi(0,83333)\approx 0,7967+0{,}3333\cdot(0,7995-0,7967)=0,7967+0,3333\cdot0,0028\approx 0,7976.

Passo 7

Calcular a probabilidade final usando os valores encontrados:
P(550<X<750)=\Phi(0,83333)-\Phi(0,16667)\approx 0,7976-0,5662=0,2314.
Interpretando: a probabilidade é aproximadamente 0,2314, ou seja cerca de 23{,}14\%.
Dica rápida para a prova: padronize sempre com Z=(X-\mu)/\sigma; calcule z com frações simples quando possível (aqui deu -5/6 e -1/6) e use simetria para evitar trabalhar sempre com sinais negativos.

Resposta

\;0,2314\approx 23{,}14\%

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