O salário médio dos funcionários de uma empresa é de
800,00
\mathrm{R} $300,00
;
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que foi dado e do que se pede):
- Média dos salários:
. - Desvio-padrão:
. - Pergunta: qual a probabilidade de que, ao escolher aleatoriamente um funcionário, seu salário esteja entre
e .
Passo 2
Qual modelo usar (sem resolver ainda): normalmente, problemas de probabilidade com média e desvio-padrão pedem que se assuma a distribuição normal para a variável (salário) quando não há outra indicação. Aqui vamos assumir que o salário é uma variável aleatória aproximadamente normal com média
e desvio-padrão
. Essa é uma hipótese padrão em exercícios desse tipo.
Explicando a ideia principal (aula curtinha): se
é normal com média
e desvio-padrão
, escrevemos
. A probabilidade que queremos é
Para trabalhar com a tabela padrão (ou calculadora), transformamos
em uma variável normal padrão
que tem média
e desvio-padrão
.
Passo 3
Fórmula de padronização e significado das variáveis (explicação didática):
- A padronização transforma qualquer normal em normal padrão pela fórmula
onde:
-
é a variável original (salário), -
é a média da distribuição, -
é o desvio-padrão, -
é a nova variável com distribuição .
A razão para isso é que subtraircentraliza a distribuição em zero e dividir por normaliza a escala para desvio-padrão . Depois usamos a tabela da normal padrão para obter probabilidades.
Passo 4
Calcular os escores-
das duas bordas
e
(contando detalhadamente as contas):
Portanto estamos buscando
Passo 5
Usar a simetria da normal padrão para trabalhar com valores positivos (explicação didática):
A função de distribuição da normal tem a propriedade
A função de distribuição da normal tem a propriedade
onde
é a função de distribuição da normal padrão. Assim,
Usando a propriedade acima,
Logo
Ou seja, podemos buscar os valores de
para
e
em uma tabela da normal padrão (ou usar calculadora).
Passo 6
Consulta da tabela da normal padrão e interpolação (mostrando os valores usados):
- Da tabela (valores usuais):
-
. -
. - Interpolando para
(que está a da distância entre e ):
-
- Para
: -
. -
. - Interpolando para
(que está a da distância entre e ):
-
Passo 7
Calcular a probabilidade final usando os valores encontrados:
Interpretando: a probabilidade é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Dica rápida para a prova: padronize sempre com
; calcule
com frações simples quando possível (aqui deu
e
) e use simetria para evitar trabalhar sempre com sinais negativos.