Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) determinar se o campo vetorial
é conservativo; (b) se for conservativo, encontrar um potencial para
.
As informações dadas são: o campo vetorial em
As informações dadas são: o campo vetorial em
Não há restrição de domínio além de
.
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicação didática e intuitiva): um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Essa função
chama-se potencial. Na prática, em domínios simples (como
, que é simplesmente conexo), uma maneira prática de testar se
é conservativo é calcular o rotacional (curl) de
. Se
em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então
é conservativo. Vou aplicar esse critério.
Passo 3
Definição e fórmula do rotacional (aula curta): para
com
funções suficientemente suaves, o rotacional é o vetor
Aqui
,
,
.
Passo 4
Calculemos cada componente do rotacional com explicações passo a passo.
Componente
:
.
-
porque não depende de . -
porque não depende de .
Logo a componenteé .
Passo 5
Componente
:
.
-
. -
porque derivando em relação a vemos como constante multiplicando .
Logo a componenteé .
Passo 6
Componente
:
.
-
porque não depende de . -
porque não depende de .
Logo a componenteé .
Passo 7
Conclusão do cálculo do rotacional: juntando as componentes, obtemos
Como o domínio é
, que é simplesmente conexo, pelo teorema clássico isso implica que
é conservativo. (Resumo: rotacional nulo + domínio simplesmente conexo ⇒ campo conservativo.)
Passo 8
Agora vamos encontrar um potencial
tal que
. Isso significa resolver o sistema de equações de derivadas parciais
A técnica prática: integrar uma das equações e depois ajustar com funções “constantes” de integração que podem depender das outras variáveis.
Passo 9
Integramos
em relação a
, tratando
como constantes:
onde
é uma função arbitrária que aparece porque a derivada parcial em
de
é zero.
Passo 10
Agora usamos a segunda equação
. Calculamos
a partir da expressão obtida:
Igualando à condição dada:
Integramos em relação a
:
onde
é uma nova função arbitrária (agora depende só de
).
Passo 11
Substituindo
em
, temos
Agora usamos a terceira equação
para determinar
. Calculamos
:
Igualando à componente
de
:
Assim obtemos
, logo
é constante. Chamemos essa constante de
.
Passo 12
Portanto um potencial vale
onde
é constante real arbitrária. Podemos escolher
para simplicidade.
Passo 13
Verificação final (checando gradiente): computando
com
(escolhendo
):
-
, -
, -
.
Isso coincide exatamente com os componentes de, então a função é de fato um potencial.
Resposta
Sim.
(com
constante).