Por cada um dos seguintes campos vetoriais \mathbf{F}, determine se \mathbf{F} é conservativo. Se sim, calcule um potencial de \mathbf{F}.
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{z} \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}+x e^{z} \mathbf{k} em mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) determinar se o campo vetorial \mathbf{F} é conservativo; (b) se for conservativo, encontrar um potencial para \mathbf{F}.
As informações dadas são: o campo vetorial em \mathbb{R}^{3}
\mathbf{F}(x,y,z)=e^{z}\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j}+x e^{z}\,\mathbf{k}.
Não há restrição de domínio além de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação didática e intuitiva): um campo vetorial \mathbf{F} é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Essa função \varphi chama-se potencial. Na prática, em domínios simples (como \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo), uma maneira prática de testar se \mathbf{F} é conservativo é calcular o rotacional (curl) de \mathbf{F}. Se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então \mathbf{F} é conservativo. Vou aplicar esse critério.

Passo 3

Definição e fórmula do rotacional (aula curta): para \mathbf{F}=(P,Q,R) com P,Q,R funções suficientemente suaves, o rotacional é o vetor
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Aqui P(x,y,z)=e^{z}, Q(x,y,z)=2y, R(x,y,z)=x e^{z}.

Passo 4

Calculemos cada componente do rotacional com explicações passo a passo.
Componente \mathbf{i}: \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x e^{z})=0 porque x e^{z} não depende de y.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2y)=0 porque 2y não depende de z.
    Logo a componente \mathbf{i} é 0-0=0.

Passo 5

Componente \mathbf{j}: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(e^{z})=e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x e^{z})=e^{z} porque derivando em relação a x vemos e^{z} como constante multiplicando x.
    Logo a componente \mathbf{j} é e^{z}-e^{z}=0.

Passo 6

Componente \mathbf{k}: \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y)=0 porque 2y não depende de x.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{z})=0 porque e^{z} não depende de y.
    Logo a componente \mathbf{k} é 0-0=0.

Passo 7

Conclusão do cálculo do rotacional: juntando as componentes, obtemos
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Como o domínio é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, pelo teorema clássico isso implica que \mathbf{F} é conservativo. (Resumo: rotacional nulo + domínio simplesmente conexo ⇒ campo conservativo.)

Passo 8

Agora vamos encontrar um potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Isso significa resolver o sistema de equações de derivadas parciais
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=e^{z},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=x e^{z}.
A técnica prática: integrar uma das equações e depois ajustar com funções “constantes” de integração que podem depender das outras variáveis.

Passo 9

Integramos \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=e^{z} em relação a x, tratando y,z como constantes:
\varphi(x,y,z)=\int e^{z}\,dx = x e^{z} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que aparece porque a derivada parcial em x de g é zero.

Passo 10

Agora usamos a segunda equação \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2y. Calculamos \phi_y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{z}+g(y,z)\big)=\frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Igualando à condição dada:
\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=2y.
Integramos em relação a y:
g(y,z)=\int 2y\,dy = y^{2}+h(z),
onde h(z) é uma nova função arbitrária (agora depende só de z).

Passo 11

Substituindo g em \varphi, temos
\varphi(x,y,z)=x e^{z}+y^{2}+h(z).
Agora usamos a terceira equação \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial z}=x e^{z} para determinar h. Calculamos \phi_z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x e^{z}+y^{2}+h(z)\big)=x e^{z}+h'(z).
Igualando à componente z de \mathbf{F}:
x e^{z}+h'(z)=x e^{z}.
Assim obtemos h'(z)=0, logo h(z) é constante. Chamemos essa constante de C.

Passo 12

Portanto um potencial vale
\varphi(x,y,z)=x e^{z}+y^{2}+C,
onde C é constante real arbitrária. Podemos escolher C=0 para simplicidade.

Passo 13

Verificação final (checando gradiente): computando \nabla\varphi com \varphi(x,y,z)=x e^{z}+y^{2} (escolhendo C=0):
  • \phi_x=e^{z},
  • \phi_y=2y,
  • \phi_z=x e^{z}.
    Isso coincide exatamente com os componentes de \mathbf{F}, então a função é de fato um potencial.

Resposta

Sim. \varphi(x,y,z)=x e^{z}+y^{2}+C (com C constante).

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