\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}}, em que a>0 e b>0

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{n\to+\infty} \frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}}
sabendo que a>0 e b>0.
Informações dadas:
\;a>0 (expoente da função logarítmica), \;b>0 (expoente de n). O índice da sequência é n\to+\infty. Não há outras restrições.

Passo 2

Uma reescrita algébrica útil que vamos usar é separar a potência inteira:
\frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}}=\left(\frac{\ln n}{n^{\,b/a}}\right)^{a}.
Explicação rápida dessa igualdade: elevando n^{b/a} à potência a obtemos n^{b}, então colocar n^{b/a} no denominador dentro do parêntese e depois elevar tudo a a devolve a expressão original.

Passo 3

Agora mostro que o fator dentro do parêntese tende a zero quando n\to\infty. Defina
\delta=\frac{b}{a}>0.
Queremos provar que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{\delta}}=0.
Como n é inteiro, é mais simples passar para a variável contínua x e tratar o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{\delta}}.
Ambas as funções do numerador e denominador tendem a +\infty, então podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital (em linguagem informal: quando temos uma forma \infty/\infty, o limite da razão é o mesmo que o limite da razão das derivadas, se este existir).
Derivando numerador e denominador em x:
derivada de \ln x é 1/x;
derivada de x^{\delta} é \delta x^{\delta-1}.
Pelo Teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{\delta}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\delta x^{\delta-1}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\delta x^{\delta}} =0,
porque x^{\delta}\to\infty e \delta>0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{\delta}}=0.

Passo 4

Voltando à expressão do Passo 2, temos visto que
\frac{\ln n}{n^{b/a}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Como a função t\mapsto t^{a} é contínua para t\ge 0 (e para n grande o quociente é positivo), podemos elevar o limite à potência a e obter
\left(\frac{\ln n}{n^{b/a}}\right)^{a}\xrightarrow[n\to\infty]{}0^{a}=0.
Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}}=0.

Passo 5

Intuição final e ânimo: a ideia por trás do resultado é que potências de n (mesmo com expoente pequeno) crescem muito mais rápido que potências do logaritmo. Ou seja, n^{b} domina (\ln n)^{a} quando n fica muito grande. Você já tem a ferramenta (L’Hôpital) e o truque da reescrita \left(\frac{\ln n}{n^{b/a}}\right)^{a} — com isso dá pra ganhar tempo na prova. Força aí, tá indo bem!

Resposta

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