Assinale a alternativa que contenha o resultado de:
V=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} \int_{0}^{2} d x d z d y
(A) 3
(B) 5
(C) 4
(D) 2
(E) 1
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor
V=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} \int_{0}^{2} d x\, d z\, d y.
Informações dadas:
Os limites de integração são \;0\le y\le1, \;0\le z\le1-y e \;0\le x\le2.
A integranda implícita é 1 (pois integrando apenas d x\, d z\, d y).
Trata-se de uma integral iterada tríplice com ordem de integração \;x (interno), \;z (médio) e \;y (externo).
Passo 2
Entendendo o que a integral representa (aqui uma explicação didática e concreta): como a integranda é 1, a integral tríplice representa o volume do sólido no espaço cujas coordenadas satisfazem os limites dados. Ou seja, o conjunto de pontos (x,y,z) tal que
Note que o intervalo em x é independente de y e z e tem comprimento constante 2. Isso vai simplificar muito os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular a integral iterada passo a passo, começando pela integral interna em x. A integral interna é
\int_{0}^{2} d x.
Quando integrando a função constante 1 em relação a x, o resultado é simplesmente o comprimento do intervalo em x.
Passo 4
Calcule a integral interna em x:
\int_{0}^{2} d x = 2.
Explicação: integrar 1 em x dá x, e avaliando de 0 a 2 obtemos 2-0=2.
Passo 5
Substituímos esse resultado na integral média em z. Agora precisamos calcular
\int_{0}^{1-y} 2\, d z.
Aqui 2 é constante em relação a z, então a integral é o produto 2 pelo comprimento do intervalo em z, que é (1-y)-0=1-y.
Passo 6
Calcule a integral em z:
\int_{0}^{1-y} 2\, d z = 2(1-y).
Explicação: integrar uma constante 2 em z dá 2z, e avaliando de 0 a 1-y obtemos 2(1-y)-2\cdot 0 = 2(1-y).
Passo 7
Agora temos de calcular a integral externa em y:
\int_{0}^{1} 2(1-y)\, d y.
Vamos desenvolver essa integral explicitamente. Primeiro expandimos a função:
2(1-y)=2-2y.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1} (2-2y)\, d y = \int_{0}^{1} 2\, d y - \int_{0}^{1} 2y\, d y.
Passo 8
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1} 2\, d y = 2y\Big|_{0}^{1}=2(1)-2(0)=2,
\int_{0}^{1} 2y\, d y = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=y^{2}\Big|_{0}^{1}=1-0=1.
Subtraindo,
\int_{0}^{1} (2-2y)\, d y = 2-1=1.
Passo 9
Concluímos que o valor da integral tríplice é
V=1.
Interpretação rápida: o volume do sólido definido pelos limites vale 1. O fato de o intervalo em x ter comprimento 2 e a “área” da região no plano yz ser 1/2 (pois \int_{0}^{1}(1-y)\,dy=1/2) se combina para dar 2\cdot\frac{1}{2}=1. Se quiser ver essa visão alternativa: \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} \int_{0}^{2} dx\,dz\,dy = 2\cdot \int_{0}^{1}(1-y)\,dy =2\cdot\frac{1}{2}=1.