Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) :
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^x-1-2 xx+1

Passo 1

O enunciado pergunta as derivadas primeira e segunda da função
f(x)=e^x-1-2xx+1
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do quociente para obter f'(x) e, em seguida, reaplicar a regra do quociente a f'(x) para achar f''(x).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^x-1-2x, v(x)=x+1
Então
u'(x)=e^x-1-2, v'(x)=1,
e pela regra do quociente
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(e^x-1-2)(x+1)-(e^x-1-2x)cdot1(x+1)^2

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
(e^x-1-2)(x+1)-(e^x-1-2x) =e^x-1(x+1)-2(x+1)-e^x-1+2x =x,e^x-1-2
Logo
f'(x) =x,e^x-1-2(x+1)^2

Passo 4

Para f''(x) aplicamos a regra do quociente a
f'(x)=h(x)w(x), h(x)=x,e^x-1-2, w(x)=(x+1)^2
Calculamos
h'(x) =ddxl(x,e^x-1r) =e^x-1+x,e^x-1=(x+1)e^x-1, w'(x)=2(x+1)
Assim
f''(x) =h'(x),w(x)-h(x),w'(x)[w(x)]^2 =(x+1)e^x-1,(x+1)^2-(x,e^x-1-2),2(x+1)(x+1)^4

Passo 5

No numerador, fatoramos (x+1):
(x+1)^3e^x-1-2(x+1)x,e^x-1+4(x+1) =(x+1)l[e^x-1l((x+1)^2-2xr)+4r] =(x+1)l[e^x-1(x^2+1)+4r]
Cancelando um fator (x+1) com o denominador (x+1)^4, obtemos
f''(x) =e^x-1(x^2+1)+4(x+1)^3

Resposta

f'(x)=x,e^x-1-2(x+1)^2, f''(x)=e^x-1(x^2+1)+4(x+1)^3

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