Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) :
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^-3+x sin xx-cos (x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
f(x)=x^-3+xsin x,x-cos x,
O conteúdo usado será a regra do quociente
l(tfracNDr)'=N',D - N,D'D^2,
mais as regras de derivação de potência, produto e das funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos o numerador e denominador como
N(x)=x^-3+xsin x, D(x)=x-cos x
Derivamos cada um:
N'(x)=l(x^-3r)'+(xsin x)' =-3x^-4+(sin x + xcos x) =-3x^-4+sin x + xcos x,
D'(x)=1-(-sin x)=1+sin x

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =N'(x),D(x)-N(x),D'(x)l(D(x)r)^2 =l(-3x^-4+sin x + xcos xr),(x-cos x) -,(x^-3+xsin x),(1+sin x)(x-cos x)^2

Passo 4

Para f''(x) usamos novamente quociente, mas escrevendo
f'(x)=U(x)(x-cos x)^2, U(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)
Primeiro, derivamos U(x). Note que
U'(x)=N''(x),D(x)-N(x),D''(x),
pois os termos N'(x)D'(x) se anulam. Calculamos
N''(x) =l(-3x^-4+sin x + xcos xr)' =12x^-5+cos x+(cos x - xsin x) =12x^-5+2cos x - xsin x,
D''(x)=(1+sin x)'=cos x
Logo,
U'(x) =l(12x^-5+2cos x - xsin xr),(x-cos x) -,(x^-3+xsin x),cos x
Como (x-cos x)^2 =2(x-cos x)(1+sin x), a regra do quociente dá
f''(x) =U'(x),(x-cos x)^2 ;-; U(x),2(x-cos x)(1+sin x) (x-cos x)^4 =U'(x),(x-cos x) ;-;2,U(x)(1+sin x)(x-cos x)^3

Resposta

f'(x) =l(-3x^-4+sin x + xcos xr),(x-cos x) -,(x^-3+xsin x),(1+sin x)(x-cos x)^2,
f''(x) =l[l(12x^-5+2cos x - xsin xr)(x-cos x) -(x^-3+xsin x)cos xr](x-cos x) -2l[l(-3x^-4+sin x + xcos xr)(x-cos x)-(x^-3+xsin x)(1+sin x)r](1+sin x)(x-cos x)^3

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