Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) :
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=2 x^-1 / 2+tan xcos (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede f'(x) e f''(x) para
f(x)=2,x^-1/2+tan xcos(2x+1)
O conteúdo principal é a regra do quociente, a regra da cadeia e as derivadas básicas de potências, de tan x e de cos(cdot).

Passo 2

Definimos
N(x)=2,x^-1/2+tan x, D(x)=cos(2x+1)
Então
N'(x)=2cdotl(-tfrac12,x^-3/2r)+sec^2 x =-x^-3/2+sec^2 x,
D'(x)=-sin(2x+1)cdot(2)=-2sin(2x+1)
Pela regra do quociente,
f'(x) =N'(x),D(x)-N(x),D'(x)D(x)^2 =l(-x^-3/2+sec^2 xr)cos(2x+1) - l(2,x^-1/2+tan xr)l(-2sin(2x+1)r) cos^2(2x+1)

Passo 3

Agrupando termos no numerador,
f'(x) =l(-x^-3/2+sec^2 xr)cos(2x+1) +2l(2,x^-1/2+tan xr)sin(2x+1) cos^2(2x+1)

Passo 4

Para f''(x), chamo de
B(x) =l(-x^-3/2+sec^2 xr)cos(2x+1) +2l(2,x^-1/2+tan xr)sin(2x+1),
de modo que f'(x)=B(x)/cos^2(2x+1).
Aplicando novamente a regra do quociente,
f''(x) =B'(x),cos^2(2x+1) - B(x),2cos(2x+1)l(-2sin(2x+1)r) cos^4(2x+1)
=B'(x)cos^2(2x+1)+4,B(x)cos(2x+1)sin(2x+1) cos^4(2x+1)

Passo 5

Calculamos B'(x) por partes:
  1. l(-x^-3/2+sec^2 xr)'!=tfrac32,x^-5/2+2sec^2 xtan x.
  2. cos(2x+1)'=-2sin(2x+1).
  3. l(2,x^-1/2+tan xr)'=-x^-3/2+sec^2 x.
  4. sin(2x+1)'=2cos(2x+1).
Assim
B'(x) =l(tfrac32,x^-5/2+2sec^2 xtan xr)cos(2x+1) +l(-x^-3/2+sec^2 xr)l(-2sin(2x+1)r)
+2l[l(-x^-3/2+sec^2 xr)sin(2x+1) +l(2,x^-1/2+tan xr),2cos(2x+1)r]
Substituindo em f''(x) e simplificando factorizando potências de cos(2x+1) e sin(2x+1), obtemos a expressão final.

Resposta

f'(x) =l(-x^-3/2+sec^2 xr)cos(2x+1) +2l(2,x^-1/2+tan xr)sin(2x+1) cos^2(2x+1),
f''(x) =B'(x)cos^2(2x+1)+4,B(x)cos(2x+1)sin(2x+1) cos^4(2x+1),
onde
B(x) =l(-x^-3/2+sec^2 xr)cos(2x+1) +2l(2,x^-1/2+tan xr)sin(2x+1)
e
B'(x) &=l(tfrac32,x^-5/2+2sec^2 xtan xr)cos(2x+1) -2l(-x^-3/2+sec^2 xr)sin(2x+1) &+2l[l(-x^-3/2+sec^2 xr)sin(2x+1) +2l(2,x^-1/2+tan xr)cos(2x+1)r]

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