Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) :
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^x-e^-xraizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x) = e^x - e^-xraizx^2+1
Vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia para obter f'(x), e em seguida novamente a regra do quociente para obter f''(x).

Passo 2

Defina o numerador
N(x) = e^x - e^-x,
e o denominador
D(x) = raizx^2+1 = (x^2+1)^tfrac12
Então
N'(x) = e^x + e^-x, D'(x) = 12(x^2+1)^-tfrac12cdot 2x = xraizx^2+1
Pela regra do quociente,
f'(x) = N'(x),D(x) - N(x),D'(x)[D(x)]^2 = (e^x+e^-x)raizx^2+1 - (e^x-e^-x)xraizx^2+1x^2+1

Passo 3

Colocando sobre o mesmo denominador (x^2+1)^3/2 e agrupando termos, obtemos
f'(x) = (e^x+e^-x)(x^2+1) - x(e^x-e^-x)(x^2+1)^3/2 = e^x(x^2-x+1) + e^-x(x^2+x+1)(x^2+1)^3/2

Passo 4

Para achar f''(x), escreva
f'(x) = A(x)B(x),
onde
A(x) = e^x(x^2-x+1) + e^-x(x^2+x+1), B(x) = (x^2+1)^3/2
Então
A'(x) = e^xl((x^2-x+1) + (2x-1)r) + e^-xl(- (x^2+x+1) + (2x+1)r) = e^x(x^2+x) + e^-x(-x^2+x),
e
B'(x) = 32(x^2+1)^1/2cdot 2x = 3x,(x^2+1)^1/2
Aplicando de novo a regra do quociente,
f''(x) = A'(x),B(x) - A(x),B'(x)[B(x)]^2 = (x^2+1)A'(x) - 3x,A(x)(x^2+1)^5/2

Passo 5

Substituindo A(x) e A'(x) e simplificando, chega-se a
f''(x) = e^xl(x^4-2x^3+4x^2-2xr);-; e^-xl(x^4+2x^3+4x^2+2xr) (x^2+1)^5/2

Resposta

f'(x)=e^x(x^2-x+1)+e^-x(x^2+x+1)(x^2+1)^3/2,
f''(x)=e^x(x^4-2x^3+4x^2-2x);-;e^-x(x^4+2x^3+4x^2+2x)(x^2+1)^5/2

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