Construa as curvas integrais para equação d yd x=x-y utilizando o método das isóclinas.

Passo 1

O enunciado pede para construir as curvas integrais da equação
dydx=x-y
usando o método das isóclinas. Aqui o conteúdo é EDO de primeira ordem e veremos isóclinas e a solução geral.

Passo 2

Para cada inclinação constante k, a isóclina é dada por
x - y = k,
ou seja
y = x - k
Em qualquer ponto dessa reta a derivada dydx vale exatamente k.

Passo 3

Para achar a família de soluções, note que a EDO pode ser reescrita como
dydx + y = x,
que é linear de 1ª ordem. O fator integrante é
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x
Multiplicando a equação por e^x obtemos
ddxl(y,e^xr)=x,e^x

Passo 4

Integramos em ambos os lados:
y,e^x=integral x,e^xdx
Usando integração por partes ( u=x, dv=e^xdx),
integral x,e^xdx=(x-1)e^x+C
Logo
y,e^x=(x-1)e^x+C Longrightarrow y=x-1+Ce^-x

Passo 5

Cada valor de CinR define uma curva integral distinta. Essas curvas intersectam cada isóclina y=x-k com a tangente de inclinação k.

Resposta

A família de curvas integrais é
y(x)=x-1+Ce^-x, CinR

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