Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a EDO autônoma
e pede (i) os pontos de equilíbrio, (ii) classificar sua estabilidade, (iii) esboçar o diagrama de fluxo (phase line) e (iv) descrever como a solução evolui conforme o valor inicial
. Vamos usar cálculo de pontos críticos e sinal da derivada.
Passo 2
Para achar os equilíbrios, igualamos a taxa a zero:
Logo as soluções constantes são
Passo 3
Para classificar, calculamos
Em cada equilíbrio:
- Em :
ponto de sela (instável).
- Em :
nós estáveis.
- Em
- Em
Passo 4
Esboço do diagrama de fases (reta real com setas):
- Para :
e
(seta para a direita).
- Para :
(seta para a esquerda).
- Para :
(seta para a direita).
- Para :
(seta para a esquerda).
Isso mostra e
como estáveis (setas convergindo) e
como instável (setas divergindo).
- Para
- Para
- Para
- Para
Isso mostra
Passo 5
Comportamento conforme
:
- Se , então
decresce e tende a
quando
.
- Se ,
cresce para
.
- Se , a solução fica estacionária em
(equilíbrio instável).
- Se ,
decresce para
.
- Se ,
cresce para
.
- Se
- Se
- Se
- Se
- Se
Resposta
Equilíbrios:
Diagrama de fases: setas apontam para
em
e
e para
em
e
.
Dependendo de , as soluções evoluem monotonicamente para o ponto estável mais próximo: se
vão para
, se
vão para
, exceto a solução trivial
.
Dependendo de