Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial y(0).
y^prime=y-y^3

Passo 1

O enunciado dá a EDO autônoma
y' = y - y^3
e pede (i) os pontos de equilíbrio, (ii) classificar sua estabilidade, (iii) esboçar o diagrama de fluxo (phase line) e (iv) descrever como a solução evolui conforme o valor inicial y(0). Vamos usar cálculo de pontos críticos e sinal da derivada.

Passo 2

Para achar os equilíbrios, igualamos a taxa a zero:
y - y^3 = 0
y,(1 - y^2) = 0
Logo as soluções constantes são
y^* = 0, y^* = 1, y^* = -1

Passo 3

Para classificar, calculamos
f(y) = y - y^3, f'(y) = 1 - 3y^2
Em cada equilíbrio:
- Em y^*=0: f'(0)=1>0 to ponto de sela (instável).
- Em y^*=pm1: f'(pm1)=1-3=-2<0 to nós estáveis.

Passo 4

Esboço do diagrama de fases (reta real com setas):
- Para y<-1: y<0 e 1-y^2<0 Rightarrow y'>0 (seta para a direita).
- Para -1<y<0: y'<0 (seta para a esquerda).
- Para 0<y<1: y'>0 (seta para a direita).
- Para y>1: y'<0 (seta para a esquerda).
Isso mostra -1 e 1 como estáveis (setas convergindo) e 0 como instável (setas divergindo).

Passo 5

Comportamento conforme y(0):
- Se y(0)>1, então y(t) decresce e tende a 1 quando tto+infty.
- Se 0<y(0)<1, y(t) cresce para 1.
- Se y(0)=0, a solução fica estacionária em 0 (equilíbrio instável).
- Se -1<y(0)<0, y(t) decresce para -1.
- Se y(0)<-1, y(t) cresce para -1.

Resposta

Equilíbrios:
y^* = -1 (estável), y^* = 0 (instável), y^* = 1 (estável) ááá
Diagrama de fases: setas apontam para -1 em (-infty,-1) e (-1,0) e para 1 em (0,1) e (1,infty).
Dependendo de y(0), as soluções evoluem monotonicamente para o ponto estável mais próximo: se y(0)>0 vão para 1, se y(0)<0 vão para -1, exceto a solução trivial yequiv0.

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