Calcule o limite:
lim x 0 xtg^-1(4 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto0xtg^-1(4x)
Este é um caso de forma indeterminada 0/0, e vamos usar o Teorema de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=0, o numerador fica 0 e o denominador também fica tg^-1(0)=0. Logo é mesmo uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Pelo Teorema de L’Hôpital, calculamos as derivadas do numerador e do denominador separadamente:
ddxl(xr)=1,
ddxl(tg^-1(4x)r) =41+(4x)^2

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, o limite original se transforma em
limxto0141+(4x)^2 =limxto01+(4x)^24 =1+04 =14

Resposta

14

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