Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos de equilíbrio da EDO autônoma
além de esboçar qualitativamente as soluções e descrever como o comportamento varia conforme a condição inicial
. Vamos precisar resolver
, estudar
para classificação e analisar o sinal de
para construir a linha de fase.
Passo 2
Procuramos os equilíbrios resolvendo
Note que
logo há uma raiz real
em
. Verifica-se que os extremos locais de
ocorrem em
(máximo) e
(mínimo), com
o que mostra que não há outras trocas de sinal: existe exatamente um equilíbrio real. Aproximando numericamente,
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Em
,
Como
, o equilíbrio
é instável (repulsor).
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Para
, temos , logo e as soluções decrescem. - Para
, temos , logo e as soluções crescem.
A linha de fase unidimensional fica assim:
onde as setas apontam para longe de
, confirmando que é um ponto de repulsão.
Passo 5
Com isso, as soluções gerais se comportam assim:
- Se
, a solução é a constante . - Se
, então e cresce monotonamente, escapando para em tempo finito. - Se
, então e decresce monotonamente, escapando para em tempo finito.
Resposta
O único equilíbrio é
e ele é instável (repulsor). As soluções com
crescem para
, as com
decrescem para
, e
é a solução constante.