Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial y(0).
y^prime=y^3+2 y^2+y+1

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos de equilíbrio da EDO autônoma
y' = f(y), f(y)=y^3+2y^2+y+1,
além de esboçar qualitativamente as soluções e descrever como o comportamento varia conforme a condição inicial y(0). Vamos precisar resolver f(y)=0, estudar f'(y) para classificação e analisar o sinal de f(y) para construir a linha de fase.

Passo 2

Procuramos os equilíbrios resolvendo
y^3 + 2y^2 + y + 1 = 0
Note que
f(-2) = (-8)+8+(-2)+1 = -1 < 0,
f(-1) = (-1)+2+(-1)+1 = 1 > 0,
logo há uma raiz real alpha em (-2,-1). Verifica-se que os extremos locais de f ocorrem em y=-1 (máximo) e y=-tfrac13 (mínimo), com
f(-1)=1>0, f(-tfrac13)= -tfrac127 + tfrac29 -tfrac13 +1 approx 0.85>0,
o que mostra que não há outras trocas de sinal: existe exatamente um equilíbrio real. Aproximando numericamente,
alpha approx -1.7549

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(y) = 3y^2 + 4y + 1
Em y=alpha,
f'(alpha) = 3alpha^2 + 4alpha + 1 approx 3,22 > 0
Como f'(alpha)>0, o equilíbrio y=alpha é instável (repulsor).

Passo 4

Analisando o sinal de f(y):
  • Para y<alpha, temos f(y)<0, logo y'<0 e as soluções decrescem.
  • Para y>alpha, temos f(y)>0, logo y'>0 e as soluções crescem.
A linha de fase unidimensional fica assim:
long<=ftarrow alpha longrightarrow
onde as setas apontam para longe de alpha, confirmando que é um ponto de repulsão.

Passo 5

Com isso, as soluções gerais se comportam assim:
  • Se y(0)=alpha, a solução é a constante y(t)=alpha.
  • Se y(0)>alpha, então y'(t)>0 e y(t) cresce monotonamente, escapando para +infty em tempo finito.
  • Se y(0)<alpha, então y'(t)<0 e y(t) decresce monotonamente, escapando para -infty em tempo finito.

Resposta

O único equilíbrio é
ye approx -1,7549,
e ele é instável (repulsor). As soluções com y(0)>!ye crescem para +infty, as com y(0)<!ye decrescem para -infty, e y(t)=ye é a solução constante.

Exercícios relacionados