Para cada uma das seguintes equações, classificar a superfície e, se possível, deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
;
Passo 1
Enunciado e o que se pede. A equação dada é
O que o problema pede:
- Classificar a superfície (que tipo de quádica é).
- Se possível, deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
Informações relevantes fornecidas: os termos quadráticos em
estão presentes (com coeficientes
), há termos lineares em
e não há termos mistos (como
,
,
).
Passo 2
Plano de ataque e lembrete útil (completação do quadrado). Para eliminar os termos lineares e identificar a forma canônica, vamos completar o quadrado para cada variável. Regra geral útil: para um termo do tipo
(com
) pode-se escrever
Isto transforma a parte quadrática+linear numa forma quadrada centrada em
, deixando um ajuste constante. Vamos aplicar isso separadamente a
, a
(lembrando o fator
) e a
.
Passo 3
Completar o quadrado em
. Pegamos os termos envolvendo
:
Aplicando a fórmula com
e
:
Aqui o quadrado completo é
e sobrou a constante
.
Passo 4
Completar o quadrado em
. Os termos em
são
Fatorando
:
Agora completar o quadrado dentro do parêntese:
logo
Aqui o quadrado completo é
e a constante extra é
.
Passo 5
Completar o quadrado em
. Os termos em
são
Aplicando a fórmula com
e
:
O quadrado completo é
e sobrou a constante
.
Passo 6
Substituir os resultados na equação original e simplificar as constantes. Reescrevendo a equação com os quadrados completos:
Somando as constantes
:
Portanto a equação fica
ou, isolando o lado com os quadrados,
Passo 7
Colocar na forma padrão da elipsoide e extrair centro e semi-eixos. Divide-se ambos os lados por
para obter a forma unitária:
Reescrevendo o termo em
como fração:
Assim reconhece-se a forma padrão de um elipsoide centrado em
com semi-eixos
onde
Comparando, temos:
- Centro:
. - Semi-eixo ao longo de
: . - Semi-eixo ao longo de
: . - Semi-eixo ao longo de
: .
Observação didática curta: a ausência de termos mistos (
) indica que os eixos principais da quádrupla coincidem com os eixos coordenados; completar o quadrado desloca o centro mas não rota a superfície.
Resposta
Elipsoide.
Centro: .
Semi-eixos: (direção
),
(direção
),
(direção
).
Centro:
Semi-eixos: