Para cada uma das seguintes equações, classificar a superfície e, se possível, deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-4 x-8 y+8 z+15=0;

Passo 1

Enunciado e o que se pede. A equação dada é
x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-4 x-8 y+8 z+15=0.
O que o problema pede:
  • Classificar a superfície (que tipo de quádica é).
  • Se possível, deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
Informações relevantes fornecidas: os termos quadráticos em x,y,z estão presentes (com coeficientes 1,4,1), há termos lineares em x,y,z e não há termos mistos (como xy, xz, yz).

Passo 2

Plano de ataque e lembrete útil (completação do quadrado). Para eliminar os termos lineares e identificar a forma canônica, vamos completar o quadrado para cada variável. Regra geral útil: para um termo do tipo A x^{2}+B x (com A\neq0) pode-se escrever
A x^{2}+B x = A\left(x+\frac{B}{2A}\right)^{2}-\frac{B^{2}}{4A}.
Isto transforma a parte quadrática+linear numa forma quadrada centrada em -\dfrac{B}{2A}, deixando um ajuste constante. Vamos aplicar isso separadamente a x, a y (lembrando o fator 4) e a z.

Passo 3

Completar o quadrado em x. Pegamos os termos envolvendo x:
x^{2}-4x.
Aplicando a fórmula com A=1 e B=-4:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Aqui o quadrado completo é (x-2)^{2} e sobrou a constante -4.

Passo 4

Completar o quadrado em y. Os termos em y são
4y^{2}-8y.
Fatorando 4:
4y^{2}-8y = 4\left(y^{2}-2y\right).
Agora completar o quadrado dentro do parêntese:
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1,
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4y^{2}-8y = 4\big((y-1)^{2}-1\big) = 4(y-1)^{2}-4.
Aqui o quadrado completo é 4(y-1)^{2} e a constante extra é -4.

Passo 5

Completar o quadrado em z. Os termos em z são
z^{2}+8z.
Aplicando a fórmula com A=1 e B=8:
z^{2}+8z = (z+4)^{2}-16.
O quadrado completo é (z+4)^{2} e sobrou a constante -16.

Passo 6

Substituir os resultados na equação original e simplificar as constantes. Reescrevendo a equação com os quadrados completos:
(x-2)^{2}-4 \;+\; \big(4(y-1)^{2}-4\big) \;+\; \big((z+4)^{2}-16\big) \;+\;15 = 0.
Somando as constantes -4-4-16+15:
-4-4-16+15 = -9.
Portanto a equação fica
(x-2)^{2}+4(y-1)^{2}+(z+4)^{2}-9=0,
ou, isolando o lado com os quadrados,
(x-2)^{2}+4(y-1)^{2}+(z+4)^{2}=9.

Passo 7

Colocar na forma padrão da elipsoide e extrair centro e semi-eixos. Divide-se ambos os lados por 9 para obter a forma unitária:
\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{4(y-1)^{2}}{9}+\frac{(z+4)^{2}}{9}=1.
Reescrevendo o termo em y como fração:
\frac{(x-2)^{2}}{3^{2}}+\frac{(y-1)^{2}}{9/4}+\frac{(z+4)^{2}}{3^{2}}=1.
Assim reconhece-se a forma padrão de um elipsoide centrado em (h,k,\ell) com semi-eixos (a,b,c) onde
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-\ell)^{2}}{c^{2}}=1.
Comparando, temos:
  • Centro: (h,k,\ell)=(2,1,-4).
  • Semi-eixo ao longo de x: a=\sqrt{9}=3.
  • Semi-eixo ao longo de y: b=\sqrt{9/4}=3/2.
  • Semi-eixo ao longo de z: c=\sqrt{9}=3.
Observação didática curta: a ausência de termos mistos ( xy,xz,yz) indica que os eixos principais da quádrupla coincidem com os eixos coordenados; completar o quadrado desloca o centro mas não rota a superfície.

Resposta

Elipsoide.
Centro: (2,1,-4).
Semi-eixos: a=3 (direção x), b=\tfrac{3}{2} (direção y), c=3 (direção z).

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