Um ponto se desloca de modo que a soma de suas distâncias a (3,2,-4) e (3,2,4) é sempre 10. Achar a equação do lugar geométrico.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos focais e diz que a soma das distâncias de um ponto genérico P=(x,y,z) a esses focos é sempre 10. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Pontos dados:
    • Foco F_1=(3,2,-4).
    • Foco F_2=(3,2,4).
  • Condição dada:
    \operatorname{dist}(P,F_1)+\operatorname{dist}(P,F_2)=10,
    isto é, se P=(x,y,z),
    \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z+4)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z-4)^2}=10.
  • O que pedir: achar a equação do lugar geométrico (a equação que todos os pontos P que satisfazem a condição obedecem).

Passo 2

Observação geométrica útil (sem resolver ainda): os focos têm as mesmas coordenadas x=3 e y=2, e z=\pm 4. Portanto eles estão alinhados ao longo do eixo z com centro entre eles em z=0. Vou simplificar a álgebra centrando a coordenada no ponto médio dos focos, isto é, usar as variáveis
u=x-3,\qquad v=y-2,\qquad w=z.
Assim u,v representam deslocamentos no plano xy a partir de (3,2) e w é simplesmente z. Defina também
R=u^2+v^2.
Com isso as distâncias ficam mais compactas:
r_1=\sqrt{R+(w+4)^2},\qquad r_2=\sqrt{R+(w-4)^2},
e a condição é
r_1+r_2=10.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: elevar ao quadrado para eliminar as raízes parcialmente. Ao quadrar,
(r_1+r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1 r_2 = 100.
Calculo r_1^2+r_2^2:
r_1^2+r_2^2 = \bigl(R+(w+4)^2\bigr)+\bigl(R+(w-4)^2\bigr) =2R + (w+4)^2+(w-4)^2.
Expandindo (w+4)^2+(w-4)^2:
(w+4)^2+(w-4)^2 = (w^2+8w+16)+(w^2-8w+16)=2w^2+32.
Logo
r_1^2+r_2^2 = 2R + 2w^2 + 32.
Substituindo em (r_1+r_2)^2=100 obtemos
100 = 2R + 2w^2 + 32 + 2r_1 r_2.
Isolando r_1 r_2,
r_1 r_2 = 34 - R - w^2.

Passo 4

Agora computamos (r_1 r_2)^2 de duas maneiras e igualamos. Pela definição,
(r_1 r_2)^2 = \bigl(R+(w+4)^2\bigr)\bigl(R+(w-4)^2\bigr).
Usando r_1 r_2 = 34 - R - w^2 obtemos a equação
(34 - R - w^2)^2 = \bigl(R+(w+4)^2\bigr)\bigl(R+(w-4)^2\bigr).
Para simplificar a expansão, note que (w+4)^2=(w^2+8w+16) e (w-4)^2=(w^2-8w+16). Então o produto à direita é
\bigl(R+w^2+8w+16\bigr)\bigl(R+w^2-8w+16\bigr) = (R+w^2+16)^2 - (8w)^2.
Defina s=R+w^2. Então a igualdade fica
(34 - s)^2 = (s+16)^2 - 64 w^2.

Passo 5

Expandindo ambos os lados em termos de s e w^2:
(34-s)^2 = s^2 -68s +1156,
(s+16)^2 -64w^2 = s^2 +32s +256 -64w^2.
Igualando e simplificando (os s^2 se cancelam) dá
-68s +1156 = 32s +256 -64w^2.
Colocando todos os termos do mesmo lado:
-100s +900 +64w^2 = 0.
Lembrando que s=R+w^2, substituo:
-100(R+w^2) +900 +64w^2 = 0.
Expandindo e reorganizando:
-100R -100w^2 +900 +64w^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 100R +36w^2 -900 = 0.
Dividindo por 4 para simplificar:
25R +9w^2 -225 = 0.
Voltando às coordenadas originais ( R=(x-3)^2+(y-2)^2 e w=z), obtemos
25\bigl((x-3)^2+(y-2)^2\bigr) + 9 z^2 = 225.

Passo 6

Coloco a equação na forma padrão dividindo por 225:
\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{9} + \frac{z^2}{25} = 1.
Interpretação rápida (para gravar na prova): é um elipsóide (esferoide prolato) centrado em (3,2,0) com semi-eixos a_x=a_y=3 nas direções x,y e a_z=5 na direção z. Os focos ao longo do eixo z ficam em z=\pm 4, condizendo com os focos dados.

Resposta

\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{9} + \frac{z^2}{25} = 1

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