Um ponto se desloca de modo que a soma de suas distâncias a
e
é sempre 10. Achar a equação do lugar geométrico.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos focais e diz que a soma das distâncias de um ponto genérico
a esses focos é sempre
. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
-
Pontos dados:
- Foco
. - Foco
.
- Foco
-
Condição dada:isto é, se
, -
O que pedir: achar a equação do lugar geométrico (a equação que todos os pontos
que satisfazem a condição obedecem).
Passo 2
Observação geométrica útil (sem resolver ainda): os focos têm as mesmas coordenadas
e
, e
. Portanto eles estão alinhados ao longo do eixo
com centro entre eles em
. Vou simplificar a álgebra centrando a coordenada no ponto médio dos focos, isto é, usar as variáveis
Assim
representam deslocamentos no plano
a partir de
e
é simplesmente
. Defina também
Com isso as distâncias ficam mais compactas:
e a condição é
Passo 3
Primeiro passo algébrico: elevar ao quadrado para eliminar as raízes parcialmente. Ao quadrar,
Calculo
:
Expandindo
:
Logo
Substituindo em
obtemos
Isolando
,
Passo 4
Agora computamos
de duas maneiras e igualamos. Pela definição,
Usando
obtemos a equação
Para simplificar a expansão, note que
e
. Então o produto à direita é
Defina
. Então a igualdade fica
Passo 5
Expandindo ambos os lados em termos de
e
:
Igualando e simplificando (os
se cancelam) dá
Colocando todos os termos do mesmo lado:
Lembrando que
, substituo:
Expandindo e reorganizando:
Dividindo por
para simplificar:
Voltando às coordenadas originais (
e
), obtemos
Passo 6
Coloco a equação na forma padrão dividindo por
:
Interpretação rápida (para gravar na prova): é um elipsóide (esferoide prolato) centrado em
com semi-eixos
nas direções
e
na direção
. Os focos ao longo do eixo
ficam em
, condizendo com os focos dados.