Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
c. y'' - 4y' + 4y = e^(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea que é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos por , o que nos dá:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, essa equação é um quadrado perfeito:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz real dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é e essa função já aparece na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Então:

Passo 7

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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