Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
n.
,
,
n.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condição inicial. A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e particular, além de aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, temos uma raiz real dupla
. Isso nos dá a solução geral da parte homogênea:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito da equação é
e já temos
na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar a repetição. Portanto, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Cancelando termos semelhantes:
Isso implica que
, logo
.
Passo 6
Então, a solução particular é:
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea e da particular:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 8
Agora, calculamos a derivada de
:
Como
:
Simplificando:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Passo 9
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Podemos escrever de forma mais simples:
Resposta
A solução do problema é: