Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial não-homogênea de segunda ordem: , onde . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais lineares não-homogêneas com coeficientes constantes e utilizar o método da variação dos parâmetros.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, . Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da equação homogênea é da forma:
onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea . Para isso, vamos usar o método da variação dos parâmetros, já que o termo não-homogêneo não é um polinômio, exponencial ou função trigonométrica que permita o uso direto dos coeficientes indeterminados.
Passo 4
Primeiro, encontramos as soluções da equação homogênea, que já temos: e . O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
onde e são funções a serem determinadas.
Passo 5
Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
onde é o Wronskiano das soluções e , e é o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente de , que neste caso é .
Passo 6
Calculamos o Wronskiano :
Então, .
Passo 7
Agora, substituímos e nas fórmulas de e :
Simplificando as expressões:
Usando a identidade , temos:
Passo 8
Integrando e :
Para :
Podemos ignorar a constante de integração porque ela será incorporada na solução geral.
Para :
Vamos resolver essa integral.
Passo 9
Para integrar , podemos usar a identidade :
Então,
Isso nos dá:
Ignorando a constante de integração, temos:
Passo 10
Agora, substituímos e na expressão para :
Simplificando, temos a solução particular.
Passo 11
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial , para , é: