Para cada uma das seguintes equações, encontre a função mais geral M(x, y) de modo que a equação seja exata.
M(x, y) d x+(sec ^2 y-x / y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
N(x,y)=sec^2y-xy
Queremos achar a forma mais geral de M(x,y) que torne a equação exata, lembrando que a condição de exatidão é
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Calculemos primeiro
partial Npartial xcom N(x,y)=sec^2y-xy
Como sec^2y não depende de x e partial(x/y)/partial x=1/y, temos
partial Npartial x =;0 ;-;1y =;-,1y

Passo 3

Impondo exatidão, deve valer
partial Mpartial y =;-,1y
Integramos essa igualdade em relação a y, tratando x como constante:
M(x,y) =integral -1y,dy =-lnl|yr| + h(x),
onde h(x) é uma função arbitrária de x.

Passo 4

Portanto, a forma mais geral de M(x,y) que torna a equação
M(x,y),dx+l(sec^2y-tfracxyr),dy=0
exata é
M(x,y)=-lnl|yr| + h(x),
sendo h(x) qualquer função de x.

Resposta

M(x,y)=-lnl|yr| ;+;h(x),
com h(x) função arbitrária de x.

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