Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo especificado.
y=raiz[3]x, com 1 <= y <= 2, em torno de y

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo y a curva
y = raiz[3]x,
no trecho em que 1 <= y <= 2. Como essa curva pode ser reescrita como
x = y^3,
vamos usar a fórmula de área de superfície para uma curva x=f(y) girada em torno do eixo y:
S = 2pi integraly1^y2 x ,raiz1 + l(f'(y)r)^2;dy

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de x em relação a y. Se x = y^3, então
dxdy = 3y^2
Logo o fator de alongamento é
raiz1 + l(tfracdxdyr)^2 = raiz1 + 9y^4
Substituindo na fórmula, temos
S = 2pi integral1^2 y^3 ,raiz1 + 9y^4;dy

Passo 3

Para avaliar
integral1^2 y^3 raiz1 + 9y^4;dy
faremos a substituição
u = 1 + 9y^4 Longrightarrow du = 36,y^3,dy Longrightarrow y^3,dy = du36
Quando y=1, u=1+9cdot1^4=10; quando y=2, u=1+9cdot2^4=145. Assim
integral1^2 y^3 raiz1 + 9y^4;dy = integralu=10^145 raizu36;du = 136 integral10^145 u^tfrac12;du

Passo 4

Agora integramos
integral u^tfrac12;du = 23,u^tfrac32,
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136 integral10^145 u^tfrac12;du = 136cdot23l[u^tfrac32r]10^145 = 154l(145^tfrac32 - 10^tfrac32r)
Multiplicando pelo fator 2pi da área, obtemos
S = 2pi cdot 154l(145^tfrac32 - 10^tfrac32r) = pi27l(145^tfrac32 - 10^tfrac32r)

Resposta

S = pi27l(145^tfrac32 - 10^tfrac32r)

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