Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
f(x, y, z)=(x+y) e^{x-y+2 z} ; \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=(x+y)e^{\,x-y+2z}
e pede para calcular as três derivadas parciais
\frac{\partial f}{\partial x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}.
Informações importantes que temos: a função é produto de duas partes, x+y e e^{\,x-y+2z}; o argumento do exponencial é x-y+2z. Não vamos resolver nada ainda neste passo — só organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

O que é derivada parcial e quais regras vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
  • Definição: a derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só x varia e y,z ficam fixos. Mesma ideia para \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
  • Regras úteis que usaremos:
    1. Regra do produto: se f(x,y,z)=u(x,y,z)\cdot v(x,y,z), então
    \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
    (E análogas para as outras variáveis.)
    2. Regra da cadeia para exponencial: se v(x,y,z)=e^{g(x,y,z)}, então
    \frac{\partial v}{\partial x}=e^{g(x,y,z)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x},
    porque a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}.
  • Vamos aplicar essas regras tratando explicitamente u(x,y,z)=x+y e v(x,y,z)=e^{\,x-y+2z}. Vou mostrar passo a passo cada derivada parcial.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Identificando:
u(x,y,z)=x+y,\qquad v(x,y,z)=e^{\,x-y+2z}.
Derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=1
pois derivada de x+y em relação a x é 1 ( y é constante aqui),
e usando a regra da cadeia,
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{\,x-y+2z}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y+2z)=e^{\,x-y+2z}\cdot 1 = e^{\,x-y+2z}.
Agora aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x} =1\cdot e^{\,x-y+2z}+(x+y)\cdot e^{\,x-y+2z}.
Fatorando e^{\,x-y+2z}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\bigl(1+(x+y)\bigr)e^{\,x-y+2z}=(1+x+y)\,e^{\,x-y+2z}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
De novo, com u=x+y e v=e^{\,x-y+2z}:
\frac{\partial u}{\partial y}=1
pois derivada de x+y em relação a y é 1,
e pela regra da cadeia
\frac{\partial v}{\partial y}=e^{\,x-y+2z}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x-y+2z) = e^{\,x-y+2z}\cdot(-1) = -\,e^{\,x-y+2z}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y}=1\cdot e^{\,x-y+2z} + (x+y)\cdot\bigl(-e^{\,x-y+2z}\bigr).
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{\,x-y+2z}-(x+y)e^{\,x-y+2z}.
Fatorando e^{\,x-y+2z}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\bigl(1-(x+y)\bigr)e^{\,x-y+2z}=(1-x-y)\,e^{\,x-y+2z}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Ainda u=x+y e v=e^{\,x-y+2z}. Agora
\frac{\partial u}{\partial z}=0
porque x+y não depende de z, e
\frac{\partial v}{\partial z}=e^{\,x-y+2z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x-y+2z) = e^{\,x-y+2z}\cdot 2 = 2\,e^{\,x-y+2z}.
Usando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial z}=0\cdot e^{\,x-y+2z} + (x+y)\cdot 2\,e^{\,x-y+2z}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=2(x+y)\,e^{\,x-y+2z}.

Passo 6

Pequena recapitulação e dica para a prova (rápida e prática):
  • Sempre identifique as partes do produto; calcule derivadas parciais de cada parte separadamente.
  • Para e^{g(x,y,z)}, lembre: deriva-se o exponencial e multiplica pelo derivado do expoente.
  • Resultado final costuma ser mais fácil de memorizar se você fatorar e^{\,x-y+2z} no fim.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=(1+x+y)\,e^{\,x-y+2z}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=(1-x-y)\,e^{\,x-y+2z}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2(x+y)\,e^{\,x-y+2z}

Exercícios relacionados