Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as três derivadas parciais
Informações importantes que temos: a função é produto de duas partes,
e
; o argumento do exponencial é
. Não vamos resolver nada ainda neste passo — só organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
O que é derivada parcial e quais regras vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
-
Definição: a derivada parcial de
em relação a , escrita , é a taxa de variação de quando só varia e ficam fixos. Mesma ideia para e . -
Regras úteis que usaremos:
- Regra do produto: se
, então
(E análogas para as outras variáveis.)
2. Regra da cadeia para exponencial: se, então porque a derivada deem relação a é . - Regra do produto: se
-
Vamos aplicar essas regras tratando explicitamente
e . Vou mostrar passo a passo cada derivada parcial.
Passo 3
Cálculo de
.
Identificando:
Derivadas parciais necessárias:
pois derivada de
em relação a
é
(
é constante aqui),
e usando a regra da cadeia,
e usando a regra da cadeia,
Agora aplicamos a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 4
Cálculo de
.
De novo, com
e
:
pois derivada de
em relação a
é
,
e pela regra da cadeia
e pela regra da cadeia
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 5
Cálculo de
.
Ainda
e
. Agora
porque
não depende de
, e
Usando a regra do produto:
Portanto
Passo 6
Pequena recapitulação e dica para a prova (rápida e prática):
- Sempre identifique as partes do produto; calcule derivadas parciais de cada parte separadamente.
- Para
, lembre: deriva-se o exponencial e multiplica pelo derivado do expoente. - Resultado final costuma ser mais fácil de memorizar se você fatorar
no fim.