Calcule a equação do plano tangente e uma equação paramétrica da reta normal ao gráfico de f no ponto indicado.
f(x, y)=x^{2}-2 y \quad(1,0,1);

Passo 1

O problema pede duas coisas sobre o gráfico da função f:
  • Calcular a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,0,1).
  • Calcular uma equação paramétrica da reta normal ao gráfico de f que passa por (1,0,1).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}-2y.
  • O ponto indicado é (1,0,1). (Note que este ponto deve pertencer ao gráfico de f; mais adiante vamos confirmar isso.)

Passo 2

Conceito importante (aquela “cola” que cai na prova): para uma superfície dada como gráfico de uma função z=f(x,y), a equação do plano tangente em um ponto (a,b,f(a,b)) é
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Explicando cada símbolo:
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b): informa a inclinação do gráfico quando mexemos só em x.
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b): informa a inclinação do gráfico quando mexemos só em y.
  • A fórmula basicamente diz: o valor de z no plano tangente é o valor de f no ponto mais os incrementos lineares nas direções x e y.
Vou usar essa fórmula porque é direta e rápida para gráficos z=f(x,y).

Passo 3

Agora precisamos das derivadas parciais de f. Vamos calcular passo a passo:
  • Para obter f_x(x,y) tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Como f(x,y)=x^{2}-2y, a derivada de x^{2} em relação a x é 2x e a derivada de -2y em relação a x é 0. Logo
f_x(x,y)=2x.
  • Para obter f_y(x,y) tratamos x como constante e derivamos em relação a y. A derivada de x^{2} em relação a y é 0 e a derivada de -2y em relação a y é -2. Logo
f_y(x,y)=-2.

Passo 4

Avalie as derivadas e a função no ponto (a,b)=(1,0):
  • f_x(1,0)=2\cdot 1=2.
  • f_y(1,0)=-2.
  • Também confirmamos o valor de f no ponto:
f(1,0)=1^{2}-2\cdot 0=1,
ou seja, o ponto (1,0,1) realmente está no gráfico (porque z=f(1,0)=1). Boa — sem surpresas.

Passo 5

Substituímos na fórmula do plano tangente:
z = f(1,0) + f_x(1,0)\,(x-1) + f_y(1,0)\,(y-0).
Agora plugando os números:
z = 1 + 2\,(x-1) + (-2)\,(y-0).
Desenvolvendo os parênteses passo a passo:
z = 1 + 2x -2 -2y.
Somando constantes:
z = 2x -2y -1.
Essa é a equação do plano tangente em forma explícita z=\dots. Se preferir em forma implícita, podemos rearranjar para
2x -2y - z -1 = 0.

Passo 6

Agora a reta normal. Ideia e fórmula: a reta normal passa pelo ponto dado e tem direção igual ao vetor normal ao plano tangente. Para o gráfico z=f(x,y) podemos ver a superfície como nível da função F(x,y,z)=f(x,y)-z. O gradiente de F,
\nabla F(x,y,z) = \bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y),\,-1\bigr),
é um vetor normal à superfície. (Explicação rápida: o gradiente aponta perpendicular às curvas/ superfícies de nível; aqui F é zero no gráfico porque f(x,y)-z=0.)
No nosso ponto isso vale:
\nabla F(1,0,1) = \bigl(f_x(1,0),\,f_y(1,0),\,-1\bigr) = (2,\,-2,\,-1).
Observação: qualquer múltiplo desse vetor também é normal; poderíamos usar (-2,2,1) se quisesse, dá na mesma em termos de direção.

Passo 7

Construindo a equação paramétrica da reta normal: dada uma reta que passa por (x_0,y_0,z_0) e tem vetor direção (v_1,v_2,v_3), as equações paramétricas são
x = x_0 + v_1 t,\qquad y = y_0 + v_2 t,\qquad z = z_0 + v_3 t,
onde t é o parâmetro (geralmente t=0 corresponde ao ponto dado).
Aqui (x_0,y_0,z_0)=(1,0,1) e podemos usar (v_1,v_2,v_3)=(2,-2,-1). Assim:
x = 1 + 2t,\qquad y = 0 - 2t,\qquad z = 1 - t.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom para acalmar a ansiedade): o vetor direção da reta (2,-2,-1) é exatamente o vetor normal do plano tangente, então a reta é realmente perpendicular ao plano. Além disso, ao substituir x=1 e y=0 na equação do plano tangente obtemos z=1, consistente com o ponto dado.
Força aí — tá tudo correto e as fórmulas são rapidinhas de decorar: derivadas parciais, fórmula do plano tangente, e pegar o gradiente para a normal.

Resposta

z = 2x - 2y - 1
x = 1 + 2t,\; y = -2t,\; z = 1 - t

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