Calcule a equação do plano tangente e uma equação paramétrica da reta normal ao gráfico de
no ponto indicado.
;
Passo 1
O problema pede duas coisas sobre o gráfico da função
:
- Calcular a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto . - Calcular uma equação paramétrica da reta normal ao gráfico de
que passa por .
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto indicado é
. (Note que este ponto deve pertencer ao gráfico de ; mais adiante vamos confirmar isso.)
Passo 2
Conceito importante (aquela “cola” que cai na prova): para uma superfície dada como gráfico de uma função
, a equação do plano tangente em um ponto
é
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada em : informa a inclinação do gráfico quando mexemos só em . -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em : informa a inclinação do gráfico quando mexemos só em . - A fórmula basicamente diz: o valor de
no plano tangente é o valor de no ponto mais os incrementos lineares nas direções e .
Vou usar essa fórmula porque é direta e rápida para gráficos
.
Passo 3
Agora precisamos das derivadas parciais de
. Vamos calcular passo a passo:
- Para obter
tratamos como constante e derivamos em relação a . Como , a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é . Logo
- Para obter
tratamos como constante e derivamos em relação a . A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é . Logo
Passo 4
Avalie as derivadas e a função no ponto
:
-
-
- Também confirmamos o valor de
no ponto:
ou seja, o ponto
realmente está no gráfico (porque
). Boa — sem surpresas.
Passo 5
Substituímos na fórmula do plano tangente:
Agora plugando os números:
Desenvolvendo os parênteses passo a passo:
Somando constantes:
Essa é a equação do plano tangente em forma explícita
. Se preferir em forma implícita, podemos rearranjar para
Passo 6
Agora a reta normal. Ideia e fórmula: a reta normal passa pelo ponto dado e tem direção igual ao vetor normal ao plano tangente. Para o gráfico
podemos ver a superfície como nível da função
. O gradiente de
,
é um vetor normal à superfície. (Explicação rápida: o gradiente aponta perpendicular às curvas/ superfícies de nível; aqui
é zero no gráfico porque
.)
No nosso ponto isso vale:
Observação: qualquer múltiplo desse vetor também é normal; poderíamos usar
se quisesse, dá na mesma em termos de direção.
Passo 7
Construindo a equação paramétrica da reta normal: dada uma reta que passa por
e tem vetor direção
, as equações paramétricas são
onde
é o parâmetro (geralmente
corresponde ao ponto dado).
Aqui
e podemos usar
. Assim:
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom para acalmar a ansiedade): o vetor direção da reta
é exatamente o vetor normal do plano tangente, então a reta é realmente perpendicular ao plano. Além disso, ao substituir
e
na equação do plano tangente obtemos
, consistente com o ponto dado.
Força aí — tá tudo correto e as fórmulas são rapidinhas de decorar: derivadas parciais, fórmula do plano tangente, e pegar o gradiente para a normal.