Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais indicadas da função
Perguntas que temos de responder:
Informações relevantes dadas:
- A variável independente são
e . - A expressão
exige ; portanto trabalharíamos no domínio onde . - Devemos tratar uma variável como constante quando derivamos em relação à outra (definição de derivada parcial).
Passo 2
O que significa derivada parcial (aula rápida e prática): quando calculamos
mantemos
constante e diferenciamos
em relação a
; quando calculamos
mantemos
constante e diferenciamos
em relação a
. É igualzinha à derivada comum, só que fixamos a outra variável.
Passo 3
Vamos simplificar a escrita definindo uma função intermediária. Seja
Então podemos escrever
Agora usamos a regra da cadeia para derivadas parciais: se
e
, então
Aqui
e
.
Passo 4
Derivada da função arco-tangente (mini-aula): a derivada da função
em relação a
é
Ou seja, no nosso caso
Explico: essa fórmula é padrão e pode ser obtida diferenciando
implicitamente ou consultando uma tabela de derivadas.
Passo 5
Agora precisamos das derivadas parciais de
.
Primeiro : trate
como constante e escreva
. Assim
Primeiro
Detalhe do passo:
, e multiplica-se por
que é constante aqui.
Passo 6
Agora
: trate
como constante. Como
é linear em
, temos
Porque derivada de
em relação a
é
e o fator
fica multiplicando (é constante).
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
:
Agora simplificamos essa expressão passo a passo:
Portanto
Multiplicando com
obtemos
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia para
:
Usando a mesma simplificação de antes,
logo
Passo 9
Checagem numérica rápida (para ganhar confiança): pegando
,
(válido porque
),
Resultado coerente com as expressões obtidas.