Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x} ; \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais indicadas da função
z=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}.
Perguntas que temos de responder:
\frac{\partial z}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável independente são x e y.
  • A expressão \frac{y}{x} exige x\neq 0; portanto trabalharíamos no domínio onde x\neq 0.
  • Devemos tratar uma variável como constante quando derivamos em relação à outra (definição de derivada parcial).

Passo 2

O que significa derivada parcial (aula rápida e prática): quando calculamos \frac{\partial z}{\partial x} mantemos y constante e diferenciamos z em relação a x; quando calculamos \frac{\partial z}{\partial y} mantemos x constante e diferenciamos z em relação a y. É igualzinha à derivada comum, só que fixamos a outra variável.

Passo 3

Vamos simplificar a escrita definindo uma função intermediária. Seja
u=\frac{y}{x}.
Então podemos escrever
z=\operatorname{arctg}(u).
Agora usamos a regra da cadeia para derivadas parciais: se z=f(u) e u=g(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui f(u)=\operatorname{arctg}(u) e g(x,y)=\dfrac{y}{x}.

Passo 4

Derivada da função arco-tangente (mini-aula): a derivada da função \operatorname{arctg}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Ou seja, no nosso caso
f'(u)=\frac{1}{1+u^{2}}=\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}.
Explico: essa fórmula é padrão e pode ser obtida diferenciando \tan(z)=u implicitamente ou consultando uma tabela de derivadas.

Passo 5

Agora precisamos das derivadas parciais de u=\dfrac{y}{x}.
Primeiro \dfrac{\partial u}{\partial x}: trate y como constante e escreva u=y\cdot x^{-1}. Assim
\frac{\partial u}{\partial x}=y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
Detalhe do passo: d(x^{-1})/dx=-x^{-2}, e multiplica-se por y que é constante aqui.

Passo 6

Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}: trate x como constante. Como u=\dfrac{y}{x} é linear em y, temos
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}.
Porque derivada de y em relação a y é 1 e o fator 1/x fica multiplicando (é constante).

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Agora simplificamos essa expressão passo a passo:
1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}.
Portanto
\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Multiplicando com -\dfrac{y}{x^{2}} obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
Usando a mesma simplificação de antes,
\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}},
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\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 9

Checagem numérica rápida (para ganhar confiança): pegando x=1, y=1 (válido porque x\neq0),
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,1)}=-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,1)}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Resultado coerente com as expressões obtidas.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

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