10.6 Seja
um sinal absolutamente somável com transformada
racional
. Se
tem um polo em
poderia ser
(a) um sinal de duração finita?
(b) um sinal lateral esquerdo?
(c) um sinal lateral direito?
(d) um sinal bilateral?
(a) um sinal de duração finita?
(b) um sinal lateral esquerdo?
(c) um sinal lateral direito?
(d) um sinal bilateral?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado:
é um sinal absolutamente somável. - Dado: a transformada
é racional e possui um polo em . - Pergunta: entre as opções abaixo, para quais tipos de sinal isso poderia ocorrer?
(a) sinal de duração finita;
(b) sinal lateral esquerdo;
(c) sinal lateral direito;
(d) sinal bilateral.
Passo 2
Primeiro conceito obrigatório: relação entre soma absoluta e região de convergência (ROC).
- Um sinal
é absolutamente somável quando . - Para sinais discretos, absoluta somabilidade implica que a transformada de
converge sobre o círculo unitário ; ou seja, a ROC de contém .
Explicando de forma simples: a Z-transformada comé exatamente a série de Fourier; se converge, a série de Fourier (avaliada em ) também converge, logo está dentro da ROC.
Passo 3
Segundo conceito obrigatório: como os polos determinam a ROC para sinais racionais.
- Para uma transformada racional, a ROC é uma região do plano
que não contém polos (a ROC nunca inclui polos). - Se o sinal é lateral direito (causal ou direita limitada), a ROC tem a forma
onde é o raio do polo de maior módulo (ou maior magnitude entre os polos). Logo a ROC é exterior a um círculo. - Se o sinal é lateral esquerdo (anti‑causal ou esquerda limitada), a ROC tem a forma
onde é o raio do polo de menor módulo. Logo a ROC é interior a um círculo. - Se o sinal é bilateral, a ROC é uma coroa anular
entre raios determinados pelos polos (ou seja, há polos com raio menores que e polos com raio maiores que ).
Resumo útil: ROC não pode conter o polo, e o tipo (direito/esquerdo/bilateral) dita a forma da ROC.
Passo 4
Análise da opção (a) — sinal de duração finita.
- Um sinal de duração finita tem transformada que é um polinômio em
(ou em ), isto é, é uma soma finita de potências de . Esse tipo de não tem polos em pontos finitos (pode ter singularidade em ou em , dependendo do deslocamento). - Portanto, se
tem um polo finito em , isto é incompatível com tendo duração finita.
Conclusão: (a) NÃO é possível.
Passo 5
Análise da opção (b) — sinal lateral esquerdo.
- Para um sinal lateral esquerdo cujo
tenha um polo em , a ROC seria interior a um círculo cujo raio não ultrapassa ; mais precisamente a ROC teria a forma com (pois o polo de menor magnitude fixa o limite). - Mas lembrando do Passo 2, como
é absolutamente somável, a ROC precisa conter . Uma ROC do tipo com não contém o círculo unitário . - Logo não é possível conciliar: ter um polo em
e ao mesmo tempo ser lateral esquerdo e absolutamente somável.
Conclusão: (b) NÃO é possível.
Passo 6
Análise da opção (c) — sinal lateral direito.
- Para um sinal lateral direito, a ROC tem a forma
onde é o maior raio de polo. Se há um polo em , é perfeitamente possível que (ou se houver outros polos maiores), de modo que a ROC seja . - A ROC
inclui o círculo unitário . Assim isso é compatível com absoluta somabilidade. - Exemplo concreto e simples para fixar a ideia:
. Essa sequência é absolutamente somável porque . A transformada é , que tem um polo em e ROC . Tudo compatível.
Conclusão: (c) É POSSÍVEL.
Passo 7
Análise da opção (d) — sinal bilateral.
- Um sinal bilateral tem ROC em forma de coroa anular
. Para que esteja na ROC (exigido pela absoluta somabilidade), é necessário . - Ter um polo em
apenas impede que pertença à ROC; isso é compatível com a ROC sendo uma coroa que não atinge . Por exemplo, se existir também um polo com módulo , a ROC da soma poderia ser , que exclui o polo em e inclui . - É possível construir exemplos: somando uma componente lateral-direita com polo em
e uma componente lateral-esquerda com polo em obtém-se uma sequência bilateral cuja ROC é . Como cada parte pode ser escolhida com decaimento geométrico suficiente, a sequência total pode ser absolutamente somável.
Conclusão: (d) É POSSÍVEL.
Resposta
(a) Não
(b) Não
(c) Sim
(d) Sim
(b) Não
(c) Sim
(d) Sim