10.6 Seja x[n] um sinal absolutamente somável com transformada z racional X(z). Se X(z) tem um polo em z=1 / 2, x[n] poderia ser
(a) um sinal de duração finita?
(b) um sinal lateral esquerdo?
(c) um sinal lateral direito?
(d) um sinal bilateral?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado: x[n] é um sinal absolutamente somável.
  • Dado: a transformada X(z) é racional e possui um polo em z=\tfrac{1}{2}.
  • Pergunta: entre as opções abaixo, para quais tipos de sinal isso poderia ocorrer?
    (a) sinal de duração finita;
    (b) sinal lateral esquerdo;
    (c) sinal lateral direito;
    (d) sinal bilateral.

Passo 2

Primeiro conceito obrigatório: relação entre soma absoluta e região de convergência (ROC).
  • Um sinal x[n] é absolutamente somável quando \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|<\infty.
  • Para sinais discretos, absoluta somabilidade implica que a transformada de x[n] converge sobre o círculo unitário |z|=1; ou seja, a ROC de X(z) contém |z|=1.
    Explicando de forma simples: a Z-transformada com z=e^{j\omega} é exatamente a série de Fourier; se \sum |x[n]| converge, a série de Fourier (avaliada em |z|=1) também converge, logo |z|=1 está dentro da ROC.

Passo 3

Segundo conceito obrigatório: como os polos determinam a ROC para sinais racionais.
  • Para uma transformada racional, a ROC é uma região do plano z que não contém polos (a ROC nunca inclui polos).
  • Se o sinal é lateral direito (causal ou direita limitada), a ROC tem a forma |z|>R onde R é o raio do polo de maior módulo (ou maior magnitude entre os polos). Logo a ROC é exterior a um círculo.
  • Se o sinal é lateral esquerdo (anti‑causal ou esquerda limitada), a ROC tem a forma |z|<r onde r é o raio do polo de menor módulo. Logo a ROC é interior a um círculo.
  • Se o sinal é bilateral, a ROC é uma coroa anular r_1<|z|<r_2 entre raios determinados pelos polos (ou seja, há polos com raio menores que r_1 e polos com raio maiores que r_2).
Resumo útil: ROC não pode conter o polo, e o tipo (direito/esquerdo/bilateral) dita a forma da ROC.

Passo 4

Análise da opção (a) — sinal de duração finita.
  • Um sinal de duração finita tem transformada que é um polinômio em z^{-1} (ou em z), isto é, X(z) é uma soma finita de potências de z^{-1}. Esse tipo de X(z) não tem polos em pontos finitos z\neq0 (pode ter singularidade em z=0 ou em z=\infty, dependendo do deslocamento).
  • Portanto, se X(z) tem um polo finito em z=\tfrac{1}{2}, isto é incompatível com x[n] tendo duração finita.
    Conclusão: (a) NÃO é possível.

Passo 5

Análise da opção (b) — sinal lateral esquerdo.
  • Para um sinal lateral esquerdo cujo X(z) tenha um polo em z=\tfrac{1}{2}, a ROC seria interior a um círculo cujo raio não ultrapassa |\tfrac{1}{2}|; mais precisamente a ROC teria a forma |z|<r com r\le 0{,}5 (pois o polo de menor magnitude fixa o limite).
  • Mas lembrando do Passo 2, como x[n] é absolutamente somável, a ROC precisa conter |z|=1. Uma ROC do tipo |z|<r com r\le 0{,}5 não contém o círculo unitário |z|=1.
  • Logo não é possível conciliar: ter um polo em z=\tfrac{1}{2} e ao mesmo tempo ser lateral esquerdo e absolutamente somável.
    Conclusão: (b) NÃO é possível.

Passo 6

Análise da opção (c) — sinal lateral direito.
  • Para um sinal lateral direito, a ROC tem a forma |z|>R onde R é o maior raio de polo. Se há um polo em z=\tfrac{1}{2}, é perfeitamente possível que R=0{,}5 (ou R\ge0{,}5 se houver outros polos maiores), de modo que a ROC seja |z|>0{,}5.
  • A ROC |z|>0{,}5 inclui o círculo unitário |z|=1. Assim isso é compatível com absoluta somabilidade.
  • Exemplo concreto e simples para fixar a ideia: x[n]=(0{,}5)^n u[n]. Essa sequência é absolutamente somável porque \sum_{n=0}^{\infty}(0{,}5)^n=\tfrac{1}{1-0{,}5}=2<\infty. A transformada é \displaystyle X(z)=\frac{1}{1-0{,}5\,z^{-1}}, que tem um polo em z=0{,}5 e ROC |z|>0{,}5. Tudo compatível.
    Conclusão: (c) É POSSÍVEL.

Passo 7

Análise da opção (d) — sinal bilateral.
  • Um sinal bilateral tem ROC em forma de coroa anular r_1<|z|<r_2. Para que |z|=1 esteja na ROC (exigido pela absoluta somabilidade), é necessário r_1<1<r_2.
  • Ter um polo em z=\tfrac{1}{2} apenas impede que z=\tfrac{1}{2} pertença à ROC; isso é compatível com a ROC sendo uma coroa que não atinge |z|=0{,}5. Por exemplo, se existir também um polo com módulo 2, a ROC da soma poderia ser 0{,}5<|z|<2, que exclui o polo em 0{,}5 e inclui |z|=1.
  • É possível construir exemplos: somando uma componente lateral-direita com polo em 0{,}5 e uma componente lateral-esquerda com polo em 2 obtém-se uma sequência bilateral cuja ROC é 0{,}5<|z|<2. Como cada parte pode ser escolhida com decaimento geométrico suficiente, a sequência total pode ser absolutamente somável.
    Conclusão: (d) É POSSÍVEL.

Resposta

(a) Não
(b) Não
(c) Sim
(d) Sim

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