10.8 Seja
um sinal cuja transformada
racional
contenha um polo em
. Dado que
é absolutamente somável e
não é absolutamente somável, determine se
é lateral esquerdo, lateral direito ou bilateral.
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente:
- A transformada racional
de contém um polo em . - Definidas as sequências
sabe-se que é absolutamente somável e não é absolutamente somável.
A pergunta: determinar seé lateral esquerdo, lateral direito ou bilateral.
Passo 2
Relembrando um fato-chave sobre somabilidade absoluta e ROC (região de convergência) da transformada
:
- Uma sequência
é absolutamente somável quando . - Isso é equivalente a dizer que a série da transformada
converge absolutamente para . Em outras palavras, absoluta somabilidade de implica que a ROC de contém o círculo . (Explicação: avaliar a série em dá .)
Portanto, condição de absoluta somabilidade pode ser traduzida em inclusão do círculo unitário na ROC da transformada correspondente.
Passo 3
Ver como a multiplicação por
afeta a transformada:
- Se
, então
Aplicando ao nosso caso:
- Para
com obtemos Como é absolutamente somável, a ROC de contém . Isso significa que a ROC de contém os pontos , isto é, o círculo pertence à ROC de . - Para
com obtemos Como não é absolutamente somável, a ROC de não contém . Logo a ROC de NÃO contém o círculo .
Resumo útil obtido até aqui:
- A ROC de
contém . - A ROC de
não contém .
Passo 4
Agora usar a forma típica da ROC para sinais racionais:
- Para um sinal lateral direito (causal) a ROC é do tipo
e, se assim for, qualquer maior que o limite pertence à ROC (a ROC se estende até ). Então, se a ROC contivesse e o sinal fosse lateral direito, ela também teria que conter . Mas sabemos que não pertence à ROC. Conclusão: não pode ser lateral direito. - Para um sinal lateral esquerdo a ROC é do tipo
(um disco em torno da origem), e esse é menor ou igual à magnitude do menor polo. Como existe um polo em , para um sinal lateral esquerdo a ROC teria (ou pelo menos estaria limitada por algo ), o que não incluiria . Mas sabemos que está na ROC. Conclusão: não pode ser lateral esquerdo. - A alternativa restante é que
seja bilateral. Para sinais bilaterais a ROC é uma coroa anular do tipo ou seja, existe um limite interior e um limite exterior . Isso permite que a ROC inclua enquanto exclui , desde que . Isso é compatível com os fatos anteriores. Além disso, ter um polo em é compatível com um maior que (o polo em ficaria fora da ROC, como deve ser).
Passo 5
Conclusão lógica: as informações dadas (ROC contendo
mas não
, e a presença do polo em
) são incompatíveis com sinais puramente laterais (nem direito nem esquerdo) e são perfeitamente compatíveis com um sinal bilateral cuja ROC é uma anel
com
. Portanto
é um sinal bilateral.
Resposta
bilateral