10.8 Seja x[n] um sinal cuja transformada z racional X(z) contenha um polo em z=1 / 2. Dado que
x_{1}[n]=\left(\frac{1}{4}\right)^{n} x[n]
é absolutamente somável e
x_{2}[n]=\left(\frac{1}{8}\right)^{n} x[n]
não é absolutamente somável, determine se x[n] é lateral esquerdo, lateral direito ou bilateral.

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente:
  • A transformada racional X(z) de x[n] contém um polo em z=\tfrac{1}{2}.
  • Definidas as sequências x_{1}[n]=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}x[n], \qquad x_{2}[n]=\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}x[n],sabe-se que x_{1}[n] é absolutamente somável e x_{2}[n] não é absolutamente somável.
    A pergunta: determinar se x[n] é lateral esquerdo, lateral direito ou bilateral.

Passo 2

Relembrando um fato-chave sobre somabilidade absoluta e ROC (região de convergência) da transformada Z:
  • Uma sequência y[n] é absolutamente somável quando \sum_{n=-\infty}^{\infty}|y[n]|<\infty.
  • Isso é equivalente a dizer que a série da transformada Y(z)=\sum y[n]z^{-n} converge absolutamente para |z|=1. Em outras palavras, absoluta somabilidade de y[n] implica que a ROC de Y(z) contém o círculo |z|=1. (Explicação: avaliar a série em z=e^{j\omega} \sum |y[n]|<\infty.)
    Portanto, condição de absoluta somabilidade pode ser traduzida em inclusão do círculo unitário na ROC da transformada correspondente.

Passo 3

Ver como a multiplicação por \left(a\right)^{n} afeta a transformada:
  • Se Y[n]=a^{n}x[n], então Y(z)=\sum_{n}a^{n}x[n]z^{-n}=\sum_{n}x[n]\left(\frac{z}{a}\right)^{-n}=X\!\left(\frac{z}{a}\right).
Aplicando ao nosso caso:
  • Para x_{1}[n] com a=\tfrac{1}{4} obtemos X_{1}(z)=X\!\big(4z\big).Como x_{1}[n] é absolutamente somável, a ROC de X_{1}(z) contém |z|=1. Isso significa que a ROC de X(z) contém os pontos z'=4e^{j\omega}, isto é, o círculo |z|=4 pertence à ROC de X(z).
  • Para x_{2}[n] com a=\tfrac{1}{8} obtemos X_{2}(z)=X\!\big(8z\big).Como x_{2}[n] não é absolutamente somável, a ROC de X_{2}(z) não contém |z|=1. Logo a ROC de X(z) NÃO contém o círculo |z|=8.
Resumo útil obtido até aqui:
  • A ROC de X(z) contém |z|=4.
  • A ROC de X(z) não contém |z|=8.

Passo 4

Agora usar a forma típica da ROC para sinais racionais:
  • Para um sinal lateral direito (causal) a ROC é do tipo |z|>R e, se assim for, qualquer |z| maior que o limite R pertence à ROC (a ROC se estende até \infty). Então, se a ROC contivesse |z|=4 e o sinal fosse lateral direito, ela também teria que conter |z|=8. Mas sabemos que |z|=8 não pertence à ROC. Conclusão: x[n] não pode ser lateral direito.
  • Para um sinal lateral esquerdo a ROC é do tipo |z|<R (um disco em torno da origem), e esse R é menor ou igual à magnitude do menor polo. Como existe um polo em z=\tfrac{1}{2}, para um sinal lateral esquerdo a ROC teria |z|<\tfrac{1}{2} (ou pelo menos estaria limitada por algo \leq \tfrac{1}{2}), o que não incluiria |z|=4. Mas sabemos que |z|=4 está na ROC. Conclusão: x[n] não pode ser lateral esquerdo.
  • A alternativa restante é que x[n] seja bilateral. Para sinais bilaterais a ROC é uma coroa anular do tipo R_{1}<|z|<R_{2},ou seja, existe um limite interior R_{1} e um limite exterior R_{2}. Isso permite que a ROC inclua |z|=4 enquanto exclui |z|=8, desde que R_{1}<4<R_{2}<8. Isso é compatível com os fatos anteriores. Além disso, ter um polo em z=\tfrac{1}{2} é compatível com um R_{1} maior que \tfrac{1}{2} (o polo em 0{,}5 ficaria fora da ROC, como deve ser).

Passo 5

Conclusão lógica: as informações dadas (ROC contendo |z|=4 mas não |z|=8, e a presença do polo em z=\tfrac{1}{2}) são incompatíveis com sinais puramente laterais (nem direito nem esquerdo) e são perfeitamente compatíveis com um sinal bilateral cuja ROC é uma anel R_{1}<|z|<R_{2} com R_{1}<4<R_{2}<8. Portanto x[n] é um sinal bilateral.

Resposta

bilateral

Exercícios relacionados