Para cada uma das seguintes expressões algébricas para a transformada
de um sinal, determine o número de zeros no plano
finito e o número de zeros no infinito.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de zeros no plano
finito e o número de zeros no infinito da função
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional em
. - Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: escrever cada fator
em termos de
. Note que
Aplicando isso a todos os fatores:
Passo 3
Substituindo na função original e simplificando os fatores
que aparecem no numerador e no denominador:
Ou seja, a função simplificada é
Passo 4
Contagem de zeros finitos: zeros finitos são as raízes do numerador (contadas com multiplicidade), desde que não cancelem com fatores do denominador. Aqui o numerador fatorado é
, sem cancelamento com o denominador. Logo os zeros finitos são
cada um de multiplicidade
. Portanto há
zeros no plano
finito.
Passo 5
Contagem de zeros no infinito: regra prática — se escrevermos
com
e
polinômios em
de graus
e
respectivamente, então
- se
há um zero em de multiplicidade , - se
não há nem zero nem polo em (o limite é uma constante finita não nula), - se
há um polo em de multiplicidade .
Aqui
tem grau
e
tem grau
. Como
, o comportamento quando
é uma constante (teoricamente
), portanto não há zero no infinito. Assim o número de zeros em
é
.
Resposta
Número de zeros no plano
finito:
Número de zeros no infinito:
Número de zeros no infinito: