Para cada uma das seguintes expressões algébricas para a transformada z de um sinal, determine o número de zeros no plano z finito e o número de zeros no infinito.
\frac{\left(1-z^{-1}\right)\left(1-2 z^{-1}\right)}{\left(1-3 z^{-1}\right)\left(1-4 z^{-1}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de zeros no plano z finito e o número de zeros no infinito da função
\frac{\left(1-z^{-1}\right)\left(1-2 z^{-1}\right)}{\left(1-3 z^{-1}\right)\left(1-4 z^{-1}\right)}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional em z^{-1}.
  • Numerador: \left(1-z^{-1}\right)\left(1-2 z^{-1}\right).
  • Denominador: \left(1-3 z^{-1}\right)\left(1-4 z^{-1}\right).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: escrever cada fator \left(1-a z^{-1}\right) em termos de z. Note que
1-a z^{-1}=\frac{z-a}{z}.
Aplicando isso a todos os fatores:
\left(1-z^{-1}\right)\left(1-2 z^{-1}\right)=\frac{(z-1)(z-2)}{z^{2}},
\left(1-3 z^{-1}\right)\left(1-4 z^{-1}\right)=\frac{(z-3)(z-4)}{z^{2}}.

Passo 3

Substituindo na função original e simplificando os fatores z^{2} que aparecem no numerador e no denominador:
\frac{\dfrac{(z-1)(z-2)}{z^{2}}}{\dfrac{(z-3)(z-4)}{z^{2}}} = \frac{(z-1)(z-2)}{(z-3)(z-4)}.
Ou seja, a função simplificada é
H(z)=\frac{(z-1)(z-2)}{(z-3)(z-4)}.

Passo 4

Contagem de zeros finitos: zeros finitos são as raízes do numerador (contadas com multiplicidade), desde que não cancelem com fatores do denominador. Aqui o numerador fatorado é (z-1)(z-2), sem cancelamento com o denominador. Logo os zeros finitos são
z=1\quad\text{e}\quad z=2,
cada um de multiplicidade 1. Portanto há 2 zeros no plano z finito.

Passo 5

Contagem de zeros no infinito: regra prática — se escrevermos H(z)=B(z)/A(z) com B e A polinômios em z de graus m e n respectivamente, então
  • se m<n há um zero em z=\infty de multiplicidade n-m,
  • se m=n não há nem zero nem polo em z=\infty (o limite é uma constante finita não nula),
  • se m>n há um polo em z=\infty de multiplicidade m-n.
Aqui B(z)=(z-1)(z-2) tem grau m=2 e A(z)=(z-3)(z-4) tem grau n=2. Como m=n, o comportamento quando z\to\infty é uma constante (teoricamente \lim_{z\to\infty}H(z)=1), portanto não há zero no infinito. Assim o número de zeros em z=\infty é 0.

Resposta

Número de zeros no plano z finito: 2
Número de zeros no infinito: 0

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