Para cada uma das seguintes funções ache lim x 2 f(x)-f(2)x-2.
f(x)=2 / 3 x^2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto2 f(x)-f(2)x-2 para a função f(x)=tfrac23x^2. Estamos usando o conceito de derivada pela definição, já que esse limite coincide com f'(2).

Passo 2

Primeiro, calculamos f(2): f(2)=tfrac23cdot2^2=tfrac23cdot4=tfrac83.

Passo 3

Montamos a diferença de quociente: f(x)-f(2)x-2=tfrac23x^2-tfrac83x-2 Fatorando tfrac23 no numerador e reconhecendo diferença de quadrados, temos: tfrac23(x^2-4)x-2=tfrac23(x-2)(x+2)x-2

Passo 4

Cancelamos x-2 (válido para xneq2) e obtemos tfrac23(x+2). Agora fazemos xto2: isso dá tfrac23(2+2)=tfrac23cdot4=tfrac83.

Resposta

tfrac83

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