Dois pontos A e B estão situados numa mesma margem de um rio e distantes 100 m um do outro. Um ponto
, situa-se na outra margem, de tal modo que os ângulos CÂB e A ĈB medem
cada um. A largura desse rio, em m, é:
a)
b) 50
c)
d) 100
a)
b) 50
c)
d) 100
Passo 1
Temos dois pontos A e B na mesma margem de um rio com distância AB = 100 m, e um ponto C na margem oposta. Os ângulos dados são CÂB = 75° (no vértice A) e AĈB = 75° (no vértice C). Vamos usar trigonometria em triângulos e projeção ortogonal para achar a largura do rio.
Passo 2
No triângulo ABC, os ângulos são
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Passo 3
Pela Lei dos Senos,
\quad\Longrightarrow\quad
AC = \frac{AB,\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{100 \cdot \frac12}{\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}} = \frac{200}{\sqrt6 + \sqrt2}.]
AC = \frac{AB,\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{100 \cdot \frac12}{\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}} = \frac{200}{\sqrt6 + \sqrt2}.]
Racionalizando,
Passo 4
A largura do rio é a projeção perpendicular de AC sobre a reta da margem (reta AB). Como AC forma  = 75° com AB,
Resposta
50