Dois pontos A e B estão situados numa mesma margem de um rio e distantes 100 m um do outro. Um ponto C, situa-se na outra margem, de tal modo que os ângulos CÂB e A ĈB medem 75^circ cada um. A largura desse rio, em m, é:
a) 50 raiz3
b) 50
c) 100 raiz3
d) 100

Passo 1

Temos dois pontos A e B na mesma margem de um rio com distância AB = 100 m, e um ponto C na margem oposta. Os ângulos dados são CÂB = 75° (no vértice A) e AĈB = 75° (no vértice C). Vamos usar trigonometria em triângulos e projeção ortogonal para achar a largura do rio.

Passo 2

No triângulo ABC, os ângulos são
ang<= A = 75^circ, ang<= C = 75^circ,
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ang<= B = 180^circ - (75^circ + 75^circ) = 30^circ

Passo 3

Pela Lei dos Senos,
ACsinang<= B = ABsinang<= C
\quad\Longrightarrow\quad
AC = \frac{AB,\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{100 \cdot \frac12}{\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}} = \frac{200}{\sqrt6 + \sqrt2}.]
Racionalizando,
AC = 200(raiz6 - raiz2)6 - 2 = 50(raiz6 - raiz2)

Passo 4

A largura do rio é a projeção perpendicular de AC sobre a reta da margem (reta AB). Como AC forma  = 75° com AB,
largura = AC cdot sin 75^circ = 200raiz6 + raiz2 cdot raiz6 + raiz24 = 50

Resposta

50

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