Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado:
definida por . - Pedidos:
- Determinar o domínio de
. - Determinar o conjunto imagem (alcance) de
. - Verificar se
é invertível (isto é, injetora e sobrejetora em relação ao contradomínio dado). - Se for invertível, determinar a função inversa
.
- Determinar o domínio de
Passo 2
Sobre o domínio: a função
é naturalmente definida para todo
. No entanto, o enunciado já especificou que estamos considerando
apenas em
Portanto, o domínio que interessa é exatamente
(Lembrete rápido: “domínio” é o conjunto de valores de entrada possíveis. “Contradomínio” é o conjunto onde a função é apontada; já “imagem” ou “conjunto imagem” é o conjunto real de valores que a função efetivamente assume.)
Passo 3
Determinar o conjunto imagem: para achar a imagem de
quando
varia em
, primeiro vejo o que acontece com
. Multiplicando por
o intervalo do domínio:
Agora uso uma propriedade básica da função seno: sobre o intervalo
a função
é crescente (monótona crescente) e atinge seus extremos nas extremidades do intervalo. Logo os extremos de
ocorrem em
e
, isto é, em
e
.
Calculo os valores nas extremidades:
Como
é contínua e atinge todos os valores entre
e
quando
varia no intervalo acima, a imagem é
Passo 4
Verificação de injetividade (função um a um): uma maneira prática é usar monotonicidade. Posso mostrar que
é estritamente crescente em
.
Calculo a derivada:
Para
temos
e, nesse intervalo,
e de fato
para todo
estritamente interno, com
apenas nas extremidades
. Assim
no intervalo e
em
. Outra forma mais direta: a função
é estritamente crescente em
e a função
é estritamente crescente; a composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Logo
é estritamente crescente em
.
Se uma função é estritamente crescente em um intervalo, ela é injetora: se
então
, portanto não existem dois pontos distintos do domínio que tenham a mesma imagem. Concluímos que
é injetora.
Passo 5
Verificação de sobrejetividade (atinge todo o contradomínio): o enunciado dá o contradomínio como
. No Passo 3 mostramos que a imagem efetiva de
é precisamente
. Assim
é sobrejetora em relação ao contradomínio dado.
Como
é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e, portanto, invertível.
Passo 6
Determinar a função inversa: seja
com
e
. Para isolar
aplico a função inversa do seno (arcsen) no intervalo principal
, onde arcsen é bem definida:
Dividindo por
,
Portanto a inversa
é a função que leva
em
Em notação padrão (usando
como variável da inversa) podemos escrever
Passo 7
Checagens rápidas (para ganhar confiança):
- Avaliando nos extremos:
Aplicando a inversa:
- Composição:
Isso confirma que a fórmula da inversa está correta.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Invertível: Sim (é bijetora)
Inversa:
Imagem:
Invertível: Sim (é bijetora)
Inversa: