Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
f:\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \rightarrow[-1,1] ; f(x)=\operatorname{sen}(2 x).

Passo 1

O enunciado fornece a função e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado: f:\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]\to[-1,1] definida por f(x)=\operatorname{sen}(2x).
  • Pedidos:
    1. Determinar o domínio de f.
    2. Determinar o conjunto imagem (alcance) de f.
    3. Verificar se f é invertível (isto é, injetora e sobrejetora em relação ao contradomínio dado).
    4. Se for invertível, determinar a função inversa f^{-1}.

Passo 2

Sobre o domínio: a função \operatorname{sen}(2x) é naturalmente definida para todo x\in\mathbb{R}. No entanto, o enunciado já especificou que estamos considerando x apenas em
\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right].
Portanto, o domínio que interessa é exatamente
\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right].
(Lembrete rápido: “domínio” é o conjunto de valores de entrada possíveis. “Contradomínio” é o conjunto onde a função é apontada; já “imagem” ou “conjunto imagem” é o conjunto real de valores que a função efetivamente assume.)

Passo 3

Determinar o conjunto imagem: para achar a imagem de f(x)=\operatorname{sen}(2x) quando x varia em \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right], primeiro vejo o que acontece com 2x. Multiplicando por 2 o intervalo do domínio:
2x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Agora uso uma propriedade básica da função seno: sobre o intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] a função \operatorname{sen}(t) é crescente (monótona crescente) e atinge seus extremos nas extremidades do intervalo. Logo os extremos de \operatorname{sen}(2x) ocorrem em 2x=-\dfrac{\pi}{2} e 2x=\dfrac{\pi}{2}, isto é, em x=-\dfrac{\pi}{4} e x=\dfrac{\pi}{4}.
Calculo os valores nas extremidades:
\operatorname{sen}\!\big(2\cdot(-\tfrac{\pi}{4})\big)=\operatorname{sen}\!\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=-1, \qquad \operatorname{sen}\!\big(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)=\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
Como \operatorname{sen}(2x) é contínua e atinge todos os valores entre -1 e 1 quando 2x varia no intervalo acima, a imagem é
[-1,1].

Passo 4

Verificação de injetividade (função um a um): uma maneira prática é usar monotonicidade. Posso mostrar que f é estritamente crescente em \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right].
Calculo a derivada:
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(2x)=2\cos(2x).
Para x\in\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right] temos 2x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] e, nesse intervalo, \cos(2x)\ge 0 e de fato \cos(2x)>0 para todo x estritamente interno, com \cos(2x)=0 apenas nas extremidades x=\pm\dfrac{\pi}{4}. Assim f'(x)\ge 0 no intervalo e f'(x)>0 em \left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right). Outra forma mais direta: a função \operatorname{sen}(t) é estritamente crescente em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] e a função x\mapsto 2x é estritamente crescente; a composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Logo f é estritamente crescente em \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right].
Se uma função é estritamente crescente em um intervalo, ela é injetora: se x_1<x_2 então f(x_1)<f(x_2), portanto não existem dois pontos distintos do domínio que tenham a mesma imagem. Concluímos que f é injetora.

Passo 5

Verificação de sobrejetividade (atinge todo o contradomínio): o enunciado dá o contradomínio como [-1,1]. No Passo 3 mostramos que a imagem efetiva de f é precisamente [-1,1]. Assim f é sobrejetora em relação ao contradomínio dado.
Como f é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e, portanto, invertível.

Passo 6

Determinar a função inversa: seja y=f(x)=\operatorname{sen}(2x) com y\in[-1,1] e x\in\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]. Para isolar x aplico a função inversa do seno (arcsen) no intervalo principal \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], onde arcsen é bem definida:
2x=\operatorname{arcsen}(y).
Dividindo por 2,
x=\dfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(y).
Portanto a inversa f^{-1} é a função que leva y\in[-1,1] em
f^{-1}(y)=\dfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(y).
Em notação padrão (usando x como variável da inversa) podemos escrever
f^{-1}:\;[-1,1]\to\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right],\qquad f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(x).

Passo 7

Checagens rápidas (para ganhar confiança):
  • Avaliando nos extremos:
f\!\big(-\tfrac{\pi}{4}\big)=\operatorname{sen}\!\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=-1, \qquad f\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
Aplicando a inversa:
f^{-1}(-1)=\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(-1)=\tfrac{1}{2}\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=-\tfrac{\pi}{4}, \qquad f^{-1}(1)=\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(1)=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=\tfrac{\pi}{4}.
  • Composição:
f\big(f^{-1}(y)\big)=\operatorname{sen}\!\big(2\cdot\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(y)\big)=\operatorname{sen}\!\big(\operatorname{arcsen}(y)\big)=y, \qquad \forall y\in[-1,1].
Isso confirma que a fórmula da inversa está correta.

Resposta

Domínio: \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]
Imagem: [-1,1]
Invertível: Sim (é bijetora)
Inversa: f^{-1}:[-1,1]\to\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right],\quad f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(x)

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