Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n \sqrt{n}} .

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}
converge ou diverge. Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}.
  • Observação útil que vem do enunciado: para todo inteiro n vale -1 \le \operatorname{sen}(n) \le 1.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de modo direto):
  • Definição de convergência absoluta: uma série \sum a_n converge absolutamente se a série de valores absolutos \sum |a_n| converge. Se a série converge absolutamente então ela converge (sempre).
  • Teste da comparação direta (versão simples): se 0\le b_n\le c_n para todo n a partir de algum índice e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge.
  • Série-p (p-series): a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}converge se, e somente se, p>1. Para ter um motivo rápido: pelo teste da integral, \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dxconverge exatamente quando p>1. Exemplo concreto: para p=\tfrac{3}{2}, \int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx=\left[ -2x^{-1/2}\right]_{1}^{\infty}=2<\infty,então \sum 1/n^{3/2} converge.

Passo 3

Aplicando as ideias ao nosso termo geral. Primeiro calcule o valor absoluto do termo geral:
\left|\frac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}\right|=\frac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}}.
Usando que |\operatorname{sen}(n)|\le 1 para todo n, obtemos a desigualdade
\frac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}}\le \frac{1}{n^{3/2}}.
Portanto, para todos n,
\left|\frac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}\right|\le \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 4

Agora aplicamos o teste da comparação com a série-p. Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3/2}} converge porque 3/2>1 (veja o cálculo da integral no Passo 2). Como os termos positivos \left|\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}\right| são menores ou iguais aos termos de uma série convergente, pelo teste da comparação a série das normas
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}\right|
converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.

Passo 5

Concluir o que foi pedido: convergência da série original. Lembrando o fato (já citado) de que toda série absolutamente convergente é convergente, então a série dada converge. (Dica amiga: sempre que o termo tem uma função oscilante bonita como \operatorname{sen}(n) multiplicada por uma potência de n, verificar a convergência absoluta por comparação com uma p-série é um caminho rápido e seguro.)

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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