Resolva as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial:
c) \mathbf{y}^{\prime}+(2 / \mathbf{x}) \mathbf{y}=\mathbf{x} ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y'(x)+\frac{2}{x}y(x)=x,\qquad y(1)=0.
Pergunta-se: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para valores de x onde a equação faz sentido e que também satisfaz a condição inicial y(1)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve o termo \dfrac{2}{x}, portanto a expressão não está definida em x=0. A condição inicial y(1)=0 indica que a solução procurada pertence ao intervalo onde x>0 (podemos trabalhar em x>0).
  • Trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato y'+p(x)y=q(x) com p(x)=\dfrac{2}{x} e q(x)=x.

Passo 2

Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Antes de aplicar, explico a ideia passo a passo.
Considere a equação linear de primeira ordem genérica
y'+p(x)y=q(x).
A estratégia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x). Ou seja, queremos
\mu(x)y'+\mu(x)p(x)y = (\mu(x)y)'.
Usando a regra do produto, (\mu y)'=\mu' y + \mu y'. Comparando com \mu y' + \mu p y, vemos que precisamos de
\mu'(x) = \mu(x)p(x).
Essa é uma equação separável para \mu; sua solução é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Esse \mu é o fator integrante. Depois de multiplicar a equação original por \mu, o lado esquerdo é (\mu y)' e então integramos ambos os lados para encontrar \mu y, daí obtemos y.

Passo 3

Agora aplico isso ao caso concreto. Temos p(x)=\dfrac{2}{x}. Calculo o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln|x|\right)=\exp\!\left(\ln|x|^{2}\right)=|x|^{2}.
Como estamos buscando a solução que passa por x=1 (ou seja, no intervalo x>0), podemos tomar |x|^{2}=x^{2}. Logo
\mu(x)=x^{2}\quad\text{para }x>0.

Passo 4

Multiplico a equação original por x^{2}. Isso dá:
x^{2}y' + x^{2}\cdot\frac{2}{x}y = x^{2}\cdot x.
Simplificando os termos:
x^{2}y' + 2xy = x^{3}.
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto x^{2}y. Ou seja,
(x^{2}y)' = x^{3}.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
\int (x^{2}y)'\,dx = \int x^{3}\,dx.
A integral do lado esquerdo dá x^{2}y. A do lado direito é \dfrac{x^{4}}{4} mais constante C. Portanto:
x^{2}y = \frac{x^{4}}{4} + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 6

Isolo y:
y(x)=\frac{x^{4}}{4x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{4}+C x^{-2}.
Esta é a solução geral no intervalo x>0.

Passo 7

Agora aplico a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 em \;y(1)=\dfrac{1^{2}}{4}+C\cdot 1^{-2}\;=\dfrac{1}{4}+C, e exigindo que seja zero:
\frac{1}{4}+C=0\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{4}.

Passo 8

Substituo C=-\dfrac{1}{4} na expressão geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{4}x^{-2}=\frac{1}{4}\!\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right).
Também se pode reescrever de forma única:
y(x)=\frac{x^{4}-1}{4x^{2}}.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, só para ficar tranquilo): derivando y para verificar que a equação é satisfeita:
y'(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}x^{-3}.
Então
y'(x)+\frac{2}{x}y(x)=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}x^{-3}\right)+\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{4}\!\left(x^{2}-x^{-2}\right)=x,
confirmando que a solução é correta no intervalo x>0.

Resposta

y(x)=\frac{1}{4}\!\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{x^{4}-1}{4x^{2}},\qquad x>0

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