Resolva as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Pergunta-se: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para valores de
onde a equação faz sentido e que também satisfaz a condição inicial
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve o termo
, portanto a expressão não está definida em . A condição inicial indica que a solução procurada pertence ao intervalo onde (podemos trabalhar em ). - Trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato
com e .
Passo 2
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Antes de aplicar, explico a ideia passo a passo.
Considere a equação linear de primeira ordem genérica
A estratégia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Ou seja, queremos
Usando a regra do produto,
. Comparando com
, vemos que precisamos de
Essa é uma equação separável para
; sua solução é
Esse
é o fator integrante. Depois de multiplicar a equação original por
, o lado esquerdo é
e então integramos ambos os lados para encontrar
, daí obtemos
.
Passo 3
Agora aplico isso ao caso concreto. Temos
. Calculo o fator integrante:
Como estamos buscando a solução que passa por
(ou seja, no intervalo
), podemos tomar
. Logo
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Isso dá:
Simplificando os termos:
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja,
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá
. A do lado direito é
mais constante
. Portanto:
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 6
Isolo
:
Esta é a solução geral no intervalo
.
Passo 7
Agora aplico a condição inicial
. Substituindo
em
, e exigindo que seja zero:
Passo 8
Substituo
na expressão geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Também se pode reescrever de forma única:
Passo 9
Verificação rápida (opcional, só para ficar tranquilo): derivando
para verificar que a equação é satisfeita:
Então
confirmando que a solução é correta no intervalo
.