Para cada uma das seguintes funções, Verifique se f é injetora e/ou sobrejetora. Se f for bijetora, encontre a inversa. f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \quad f(x)=2 x-|x|
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=2x-|x|
é injetora e/ou sobrejetora e, em caso de bijeção, determinar f^{-1}. O que vamos usar é a definição de valor absoluto e os conceitos de injetividade (valores distintos de x devem dar imagens distintas) e sobrejetividade (todo y\in\mathbb{R} tem alguma x com f(x)=y).
Para checar injetividade, note que em cada ramo x<0 e x\ge0 a função é linear estritamente crescente (3x e x, respectivamente). Além disso, o ramo 3x para x<0 produz apenas valores <0 e o ramo x para x\ge0 produz valores \ge0. Não há colisão de imagens entre ramos, pois só x=0 gera f(0)=0 no segundo ramo e o primeiro ramo para x<0 nunca atinge 0. Portanto, f é injetora.
Passo 4
Para checar sobrejetividade, dado qualquer y\in\mathbb{R} queremos encontrar x tal que f(x)=y.
Se y<0, escolha x=y/3, que é negativo, e então f(x)=3\,(y/3)=y.
Se y\ge0, escolha x=y, que é \ge0, e então f(x)=x=y.
Assim, todo y tem um antecedente e f é sobrejetora.
Passo 5
Como f é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e possui inversa. A partir dos cálculos acima, a inversa f^{-1}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} também é piecewise:
f^{-1}(y)=\begin{cases} \dfrac{y}{3}, & y<0,\\[6pt] y, & y\ge0. \end{cases}]
Resposta
f é injetora e sobrejetora (bijetora).
f^{-1}(y)=\begin{cases} \dfrac{y}{3}, & y<0,\\[4pt] y, & y\ge0. \end{cases}]